Matlab点到平面投影代码背后的数学原理相关问题咨询

代码核心原理 #

你给出的代码：
[x2d;y2d] = null([a,b,c]).'*[x3d;y3d;z3d];
本质是完成两个操作：先将三维点投影到**过原点、法向量为[a,b,c]**的平面上，再将平面上的三维点转换为该平面下的二维局部坐标。

问题1：你的理解是否正确 #

你的整体逻辑理解是对的，补充两个关键细节：

• Matlab的null()函数不存在两种语法一致的不同实现，默认返回的就是零空间的标准正交基。你所说的“返回构成零空间基的向量列表”是同一个功能的不同表述：对于1×3的行向量[a,b,c]，其零空间是所有满足a*x + b*y + c*z = 0的三维向量集合，正好对应过原点、法向量为[a,b,c]的平面，这是一个二维空间，因此null([a,b,c])返回3行2列的矩阵，两列就是该空间的两个标准正交基向量。
• 转置后得到的2×3矩阵与三维点向量相乘，本质是计算三维点在这两个基向量上的投影长度，也就是该点在平面二维坐标系下的坐标值，即你得到的x2d和y2d。

问题2：为什么理论有多个结果，但Matlab输出固定 #

• 理论上平面的标准正交基确实有无穷多组：只要将基向量在平面内做任意角度的旋转，得到的都是合法的标准正交基，对应的二维坐标也会随基的旋转发生变化，所以资料会说明存在多个可能结果。
• Matlab的null()函数采用固定的奇异值分解（SVD）逻辑生成零空间基，只要输入的[a,b,c]固定，SVD的输出是唯一的，因此得到的基向量固定，最终计算出的二维坐标自然是单一固定结果。

投影平面正确性说明 #

这段代码仅适用于过原点的平面投影。如果你的目标平面不过原点（平面方程为a*x + b*y + c*z + d = 0，d≠0），直接运行这段代码得到的结果是错误的，你需要先将待投影三维点减去平面上任意一点的坐标，做平移对齐到过原点的平面后，再执行上述计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Katharina