无现有哈希碰撞前提下新增哈希的碰撞概率计算咨询

推导正确性判断 #

你的推导逻辑基本成立，仅在分母的取值上存在极小的、实际可忽略的差异：

• 如果你假设64位哈希的输出是均匀、独立随机的（符合绝大多数工业级哈希算法的实际表现），那么严格的无碰撞概率公式应为：
  $$\prod_{k=0}^{107-1} \frac{2^{64} - 10^9 - k}{2^{64}}$$
  每一项的分母是完整哈希空间大小$2^{{64}$，而非剩余可用空间$2}{64}-10^9$。
• 你给出的公式对应「新哈希值从剩余未占用空间不放回抽取」的模型，因为$2^{{64}≈1.84\times10}{19}$远大于新增的1000万条数据量，两个公式的计算结果差异可以完全忽略，核心推导逻辑是正确的。

碰撞概率计算 #

我们可以用指数近似法快速计算结果：当每个单步冲突概率极低时，无碰撞概率的连乘可以近似为自然指数形式：
$$P(无碰撞) \approx e^{-\frac{n(2s +n -1)}{2 \times 2^{64}}}$$
其中$s=10^{9$是已有数据量，$n=10}7$是新增数据量。代入计算可得：

• 指数部分的分子约为$10^7 \times (2\times10^9 +10^7) ≈ 2.01\times10^{16}$
• 指数值约为$-\frac{2.01\times10^{{16}}{2\times1.84\times10}{19}}≈-5.46\times10^{-4}$
• 无碰撞概率≈$e^{{-5.46\times10}{-4}}≈0.99945$
• 最终碰撞概率≈$1-0.99945=0.055%$，也就是约万分之5.5的概率会出现碰撞。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cmsommerville