Python环境下S图（S-chart）上下控制限的计算方法

前置准备 #

你已经完成了各分组的单值标准差计算，在此基础上还需要确认两个参数：

• 所有分组的总数，记为k
• 单个分组内的样本量，记为n（S图要求所有分组的样本量一致）

计算步骤 #

1. 计算所有分组标准差的平均值s̄，作为S图的中心线CL

CL = s̄ = (s₁ + s₂ + ... + sₖ) / k
其中sᵢ为第i个分组的标准差

2. 确认控制图常数
   S图的控制限系数和组内样本量n直接相关，你可以直接查常规控制图常数表获得对应n的B₃、B₄值，也可以通过c₄常数自行推导：

c₄是无偏标准差常数，计算逻辑为：c₄ = √(2/(n-1)) * Γ(n/2) / Γ((n-1)/2)，其中Γ为伽马函数
B₃ = max(0, 1 - 3√(1 - c₄²)/c₄)
B₄ = 1 + 3√(1 - c₄²)/c₄

3. 计算上下控制限

• 上控制限 UCL = s̄ * B₄
• 下控制限 LCL = s̄ * B₃

注意：当n≤6时，B₃的计算值为负，标准差本身不可能为负，所以此时LCL直接取0即可

Python 辅助计算示例 #

如果你不想手动查表，可以用以下代码快速计算对应n的控制限系数：

import numpy as np
from scipy.special import gamma

def get_schart_control_limits(group_stds, n):
    """
    group_stds: 各分组标准差组成的列表/数组
    n: 单组内的样本量
    返回值：(LCL, CL, UCL)
    """
    s_bar = np.mean(group_stds)
    c4 = np.sqrt(2/(n-1)) * gamma(n/2) / gamma((n-1)/2)
    B3 = max(0, 1 - 3 * np.sqrt(1 - c4**2) / c4)
    B4 = 1 + 3 * np.sqrt(1 - c4**2) / c4
    return s_bar * B3, s_bar, s_bar * B4

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elias