为何Matlab中矩阵L2范数计算远慢于L1/无穷范数但Julia表现相反

核心差异来自两个语言norm函数对矩阵参数的默认定义不同 #

1. MATLAB 中norm函数对矩阵输入的默认行为 #

MATLAB 中当输入为矩阵时，norm(R, p)默认计算算子范数（诱导范数），不同p值对应的计算逻辑和复杂度差异极大：

• norm(R, 1)：取所有列的绝对值和的最大值，仅需遍历一次矩阵逐列求和再取最大值，时间复杂度为O(mn)（m、n为矩阵行列数），属于线性复杂度，速度极快
• norm(R, inf)：取所有行的绝对值和的最大值，同样是O(mn)线性复杂度，所以和L1范数耗时接近
• norm(R, 2)：求解矩阵的最大奇异值，需要执行奇异值分解（SVD）或者幂法迭代，时间复杂度为O(min(m,n)² * max(m,n))，你测试用的3000×6000矩阵，该复杂度比前两者高了3个数量级，所以耗时差上千倍是符合预期的
  如果需要在MATLAB中计算元素级L2范数（把矩阵展平为一维向量，计算所有元素平方和开根号），写法为norm(R(:), 2)，该操作同样是线性复杂度，速度会和L1、无穷范数接近

2. Julia 中norm函数对矩阵输入的默认行为 #

Julia 标准库LinearAlgebra中，元素级范数和算子范数是两个完全独立的接口：

• norm(R, p)默认把矩阵视为一维向量，计算元素级p范数，无论p取1、2还是无穷，时间复杂度都是O(mn)
• 如果要计算和MATLAB逻辑一致的算子范数，需要调用opnorm(R, p)接口
  你在Julia中测试的norm(R, 2)是元素级L2范数，仅需遍历所有元素计算平方和再开根号，自然和L1范数速度接近；你可以尝试调用opnorm(R, 2)，耗时会和MATLAB的norm(R, 2)处于同一量级。
  你测试中Julia的norm(R, Inf)耗时偏高，大概率是测试时的CPU缓存波动、内存访问模式差异，或者没有排除第一次调用的编译开销，重复多次测试取平均后，速度应该和其余元素级范数接近。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gouhaha