TI-BASIC环境下低内存高效多项式全根求解算法选型咨询

首选算法：Durand-Kerner（魏尔斯特拉斯）迭代法 #

这个算法完全匹配你要求的低内存、易实现、高鲁棒性需求，是资源受限的计算器环境下求解多项式全部实/复根的最优选择，核心优势如下：

• 无需计算多项式导数，实现逻辑极简，代码量仅为牛顿法变种的1/3不到
• 内存占用仅和多项式阶数正相关：仅需要2个长度等于多项式阶数的列表存储迭代前后的根近似值，哪怕是8阶矩阵对应的8次多项式，内存占用也远低于TI83 Premium CE的内存上限
• 天然支持同时求解所有实根、复根，不需要提前做根的分布预判
• 鲁棒性远高于牛顿法，不会出现局部不收敛、初值敏感的问题，通用初始值即可覆盖绝大多数场景

实现步骤（适配TI-BASIC原生特性） #

你已经通过Le Verrier算法拿到了特征多项式系数，假设n次多项式形式为 P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀，按以下步骤实现即可：

1. 预处理多项式为首一形式：把所有系数除以最高次项系数aₙ，得到首一多项式，减少迭代计算逻辑
2. 初始化根近似值：生成n个初始根 z_k = (0.4+0.9i)^k（k从0到n-1），这个初始值是业界实践验证过的低退化风险初值，比均匀单位根的收敛稳定性更高
3. 迭代更新逻辑：
   • 对每个根z_k，计算修正项：Δ = P(z_k) / ∏(j≠k, z_k - z_j)，其中∏是连乘符号
   • 用z_k - Δ作为新的根近似值，所有根都更新完成后进入下一轮迭代
4. 终止条件：所有根的修正项Δ的绝对值都小于你预设的精度阈值（推荐设为1e-6，匹配TI计算器的浮点精度），或者迭代次数达到上限（推荐设为50次，该算法通常10~20次即可收敛）

TI-BASIC实现优化提示 #

• 直接调用TI-BASIC原生复数运算能力，不需要手动拆分实部、虚部做计算，可大幅减少代码量
• 迭代时可以直接用同一个列表存储新老根，不需要额外开辟缓存空间，进一步降低内存占用

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elyo