已知外禀欧拉角初始值与时间导数 求解旋转随时间变化规律

推导前提约定：默认采用常规外禀Z-X-Z旋转顺序，所有旋转绕全局固定坐标系轴完成，题目给出的dα/dt、dβ/dt、dγ/dt为三个欧拉角各自关于时间的已知函数，初始条件为t=0时旋转角取值为(α₀, β₀, γ₀)

外禀欧拉角和内禀欧拉角的核心差异是旋转轴固定不随刚体姿态变化，因此三个欧拉角的时间微分不存在耦合关系，可直接通过积分得到随时间变化的表达式，分两种常见场景给出结果：

场景1：各欧拉角的时间导数为恒定常数 #

直接对导数做线性积分即可：

• $\alpha(t) = \alpha_0 + \frac{d\alpha}{dt} \cdot t$
• $\beta(t) = \beta_0 + \frac{d\beta}{dt} \cdot t$
• $\gamma(t) = \gamma_0 + \frac{d\gamma}{dt} \cdot t$

场景2：各欧拉角的时间导数为显含时间t的函数 #

记三个欧拉角的时间导数为$\dot{\alpha}(t)$、$\dot{\beta}(t)$、$\dot{\gamma}(t)$，对每个角单独做定积分（积分哑元用τ避免和上限t冲突）：

• $\alpha(t) = \alpha_0 + \int_{0}^{t} \dot{\alpha}(\tau) d\tau$
• $\beta(t) = \beta_0 + \int_{0}^{t} \dot{\beta}(\tau) d\tau$
• $\gamma(t) = \gamma_0 + \int_{0}^{t} \dot{\gamma}(\tau) d\tau$

额外说明 #

如果题目给出的是刚体角速度矢量$\omega$而非欧拉角本身的时间导数，不可直接套用上述积分公式，需要先通过外禀欧拉角的角速度变换矩阵，将角速度矢量分解为三个欧拉角的导数后再求解微分方程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mark