如何在MATLAB中计算矩形矩阵的正确外积？

嘿，这个困惑太常见了——MATLAB里向量的外积逻辑套到矩形矩阵上时，很容易和矩阵的常规转置乘法（Gram矩阵）混淆。咱们先理清楚需求，再给出直接的解决方案：

先明确需求 #

你想要的是原矩阵所有元素两两相乘的组合，也就是把矩阵的M×N个元素全部展开成一个长度为MN的向量后，再计算这个向量的外积，最终得到一个(MN)×(M*N)的矩阵。

解决方案：先拉平矩阵，再计算向量外积 #

MATLAB里可以用(:)操作符快速把任意维度的矩阵拉平成列向量，之后再按向量外积的方式计算即可：

示例代码 #

% 定义你的矩形矩阵
r = [1 2 3; 1 1 1];
% 把矩阵拉平为列向量
r_flat = r(:);
% 计算全元素外积
outer_full = r_flat * r_flat';

运行结果 #

执行后得到的outer_full就是6×6的矩阵（对应原矩阵2×3=6个元素），每个位置(i,j)的值是原矩阵中第i个元素和第j个元素的乘积：

1     1     2     2     3     3
     1     1     2     2     3     3
     2     2     4     4     6     6
     2     2     4     4     6     6
     3     3     6     6     9     9
     3     3     6     6     9     9

为什么之前的r'*r不对？ #

你之前用r'*r得到的是3×3的矩阵，这其实是矩阵的Gram矩阵——它计算的是原矩阵各列向量之间的内积，而不是所有元素的两两乘积。这是矩阵乘法的标准逻辑，和向量外积的定义在矩形矩阵场景下产生了歧义，所以需要先把矩阵拉平成向量再计算。

拓展：如果想保留元素的位置关联 #

如果你希望外积结果能对应原矩阵的行列位置（比如得到(M×N)×(M×N)的矩阵，同时能追溯原元素的位置），拉平的方式依然适用——你可以通过ind2sub函数把拉平后的索引转回原矩阵的行列坐标，方便后续分析。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者usumdelphini