在R中生成股票价格对数正态分布及计算CRRA期望效用的技术问询

首先得指出你踩了一个常见的坑：R中rlnorm()的参数不是原始分布的期望和标准差，而是对数转换后的变量的均值（meanlog）和标准差（sdlog）。你直接把股票的期望收益率r传给meanlog，这就导致生成的分布不符合预期。

第一步：正确推导对数正态分布的参数 #

假设你关注的是股票的期末价格相对于期初价格的比值（记为R = P_T/P_0），这个比值服从对数正态分布，即ln(R) ~ N(μ, σ²)。其中：

• 你从CAPM得到的σ就是ln(R)的标准差（也就是rlnorm()需要的sdlog），这个是对的；
• 但r是R的期望收益率，即E[R] = 1 + r，而不是ln(R)的均值μ。

根据对数正态分布的性质，E[R] = exp(μ + σ²/2)，我们可以反推出μ：

sigma <- 0.01825838
r <- 0.13053162
meanlog <- log(1 + r) - (sigma^2)/2

代入你的数值计算：
log(1.13053162) ≈ 0.1225，sigma²/2 ≈ 0.000166，所以meanlog ≈ 0.122334。

现在用这个参数生成分布：

# 生成1000个R的样本（P_T/P_0）
dist_r <- rlnorm(1000, meanlog = meanlog, sdlog = sigma)

你可以验证一下：

• mean(dist_r)应该接近1.1305（也就是1+r）；
• sd(log(dist_r))应该接近0.01825838。

第二步：计算CRRA投资者的期望效用 #

常相对风险厌恶（CRRA）的效用函数形式为：
$$
U(W) =
\begin{cases}
\frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma} & \text{当 } \gamma \neq 1 \
\ln(W) & \text{当 } \gamma = 1
\end{cases}
$$
其中γ是风险厌恶系数，W是期末财富。

假设投资者初始财富为W0，全仓投资该股票，那么期末财富W = W0 * dist_r。我们可以写一个简单的函数来计算效用，再求均值得到期望效用：

# 定义CRRA效用函数
crra_utility <- function(wealth, gamma) {
  if (gamma == 1) {
    return(log(wealth))
  } else {
    return(wealth^(1 - gamma) / (1 - gamma))
  }
}

# 设定参数：初始财富、风险厌恶系数
W0 <- 1000  # 示例初始财富
gamma <- 2  # 示例风险厌恶系数

# 计算期末财富
W <- W0 * dist_r

# 计算期望效用
expected_utility <- mean(crra_utility(W, gamma))
cat("投资者的期望效用值：", round(expected_utility, 4), "\n")

小提示 #

• 模拟样本量可以适当增大（比如1e5），这样期望效用的估计会更稳定；
• 如果你的目标是直接生成期末股票价格P_T，只需用P0 * dist_r即可（P0为期初价格），CRRA效用的计算逻辑完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Oscar