马尔可夫奖励过程贝尔曼方程中Gₜ₊₁ = v(Sₜ₊₁)的推导疑问

1. 关于MRP贝尔曼方程中Gₜ₊₁与v(Sₜ₊₁)的关系 #

首先明确：贝尔曼方程从未要求Gₜ₊₁ = v(Sₜ₊₁)严格成立，你看到的等式是期望算子内的等价替换，逻辑如下：

• 状态价值函数v(s)的定义是：给定当前处于状态s，未来总回报的条件期望：v(s) = 𝔼[Gₜ | Sₜ = s]
• 对于任意状态Sₜ₊₁，可以直接把定义套用到该状态上，得到v(Sₜ₊₁) = 𝔼[Gₜ₊₁ | Sₜ₊₁]
• 结合期望的塔式法则（全期望公式），我们可以对Gₜ₊₁在给定Sₜ的条件下求期望：
  𝔼[Gₜ₊₁ | Sₜ] = 𝔼[ 𝔼[Gₜ₊₁ | Sₜ₊₁] | Sₜ ] = 𝔼[ v(Sₜ₊₁) | Sₜ ]
• 这就是贝尔曼方程推导里的替换逻辑，所有操作都在期望运算内完成，不存在随机变量Gₜ₊₁和v(Sₜ₊₁)的直接相等。

2. 推导过程的核心错误 #

你混淆了随机变量本身和随机变量的期望两个概念：

• Gₜ是从状态Sₜ出发的某一条具体采样路径得到的实际总回报，是随机变量：走不同的路径、遇到不同的状态转移，Gₜ的取值会发生变化
• v(Sₜ)是从状态Sₜ出发，所有可能采样路径得到的Gₜ的统计平均值，是该状态下回报的期望
  你直接令Gₜ = v(Sₜ)、Gₜ₊₁ = v(Sₜ₊₁)，相当于直接抹掉了期望算子，把单次随机采样的结果和整体统计平均值划了等号，这就是后续推导出错的根本原因。如果保留期望算子，你可以验证推导结果和贝尔曼方程完全一致：
  v(Sₜ) = 𝔼[Gₜ] = 𝔼[Rₜ₊₁ + γ Gₜ₊₁] = 𝔼[Rₜ₊₁] + γ 𝔼[v(Sₜ₊₁)]，完全符合MRP价值函数的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Martin