如何在Matlab中计算两个同心圆与曲线y=x²的围合区域面积

边界与交点前置计算 #

已知几何元素：

• 内圆：圆心在原点，半径5，方程为x² + y² = 25
• 外圆：圆心在原点，半径10，方程为x² + y² = 100
• 曲线：开口向上的抛物线y = x²

三者围合的常规有效区域为同时满足环形约束 25 ≤ x²+y² ≤ 100 且位于抛物线上方（y ≥ x²）的区域，区域关于y轴对称，可先计算x≥0的半区面积再乘以2得到总面积。
先求解交点坐标：

1. 抛物线与内圆交点：将y=x²代入内圆方程得y² + y - 25 = 0，取正根y=(√101 -1)/2 ≈ 4.525，对应正x坐标x1=√y≈2.127
2. 抛物线与外圆交点：将y=x²代入外圆方程得y² + y - 100 = 0，取正根y=(√401 -1)/2 ≈ 9.512，对应正x坐标x2=√y≈3.084

Matlab实现代码 #

提供两种实现方式，按需选择即可：

方式1：符号积分（可输出解析表达式） #

syms x y
% 交点正x坐标
x1 = sqrt((sqrt(101)-1)/2);
x2 = sqrt((sqrt(401)-1)/2);

% 分两段计算x正半轴面积
% 第一段x∈[0, x1]：y下界为内圆上沿，上界为外圆上沿
area_half1 = int(int(1, y, sqrt(25-x^2), sqrt(100-x^2)), x, 0, x1);
% 第二段x∈[x1, x2]：y下界为抛物线，上界为外圆上沿
area_half2 = int(int(1, y, x^2, sqrt(100-x^2)), x, x1, x2);

% 对称加倍得到总面积
total_area = 2 * (area_half1 + area_half2);
% 输出6位有效数字的数值结果
disp(['围合区域面积：', char(vpa(total_area, 6))])

方式2：数值积分（计算速度更快） #

% 交点正x坐标
x1 = sqrt((sqrt(101)-1)/2);
x2 = sqrt((sqrt(401)-1)/2);

% 定义两段被积函数（上下边界的差值）
f1 = @(x) sqrt(100 - x.^2) - sqrt(25 - x.^2);
f2 = @(x) sqrt(100 - x.^2) - x.^2;

% 数值积分计算半区面积
area_half1 = integral(f1, 0, x1);
area_half2 = integral(f2, x1, x2);

% 对称加倍得到总面积
total_area = 2 * (area_half1 + area_half2);
disp(['围合区域面积：', num2str(total_area, 6)])

结果说明 #

运行代码可得到目标区域面积约为95.27，若需要计算环形中位于抛物线下方的围合区域，直接用环形总面积75π ≈ 235.62减去上述结果即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者matlabbeginner