平面点从基准平面映射到指定目标平面的坐标转换方法咨询

前提约定 #

• 统一记球心坐标为O = (o_x, o_y, o_z)，球半径为R
• 灰色基准平面记为$P_1$：法向量n1 = [1, 0, 0]，平面一般式为x = d1（d1为已知常数项）
• 黄色目标平面记为$P_2$：法向量n2 = [a, b, c]（可提前做单位化处理），平面一般式为a*x + b*y + c*z = d2（d2为已知常数项）
• 基准平面上已知点记为P1_p = (x1, y1, z1)，满足$P_1$平面方程且在球面上

方案1：基于公共旋转轴的旋转变换（对应同球面、绕轴旋转映射的场景） #

两个平面的交线即为你系统的旋转轴，通过旋转变换直接映射坐标：

1. 转换到球心局部坐标系，消去平移影响：
   P1_local = (x1 - o_x, y1 - o_y, z1 - o_z)
2. 计算公共旋转轴的单位向量：旋转轴方向同时垂直于两个平面的法向量，通过叉乘得到后做单位化处理
   u = normalize(cross(n1, n2))
3. 计算两个平面的旋转夹角：通过法向量的点积计算夹角
   θ = arccos(dot(n1, n2) / (|n1| * |n2|))

注：如果旋转方向和右手定则不符，可将θ取负值调整

4. 用罗德里格斯旋转公式计算旋转后的局部坐标：
   P2_local = P1_local * cosθ + cross(u, P1_local) * sinθ + u * dot(u, P1_local) * (1 - cosθ)
5. 转换回全局坐标系，得到目标平面上的对应点：
   P2_p = (P2_local.x + o_x, P2_local.y + o_y, P2_local.z + o_z)

方案2：基于射线求交的变换（对应同一条球心射线与两个平面的交点映射场景） #

如果你的对应点定义为从球心出发、过基准面点的射线，与目标平面的交点，可直接用射线平面相交公式计算：

1. 计算射线的方向向量：
   dir = normalize((x1 - o_x, y1 - o_y, z1 - o_z))
2. 代入目标平面方程求解缩放系数t：
   t = (d2 - a*o_x - b*o_y - c*o_z) / (a*dir.x + b*dir.y + c*dir.z)
3. 计算目标点坐标：
   P2_p = (o_x + t*dir.x, o_y + t*dir.y, o_z + t*dir.z)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kisuli