如何用cvxpy从向量变量构造矩阵并添加半正定约束

你可以直接构造符合指定结构的cvxpy表达式矩阵，再通过半正定锥约束完成需求，具体实现如下：

首先导入依赖库：

import cvxpy as cp
import numpy as np

声明你提到的向量变量：

x = cp.Variable(5)

构造目标矩阵 #

有两种常用的构造方式，你可以根据自己的使用习惯选择：

方法1：逐元素直接构造 #

适合结构简单、规模小的矩阵：

A = cp.vstack([
    cp.hstack([x[0], 0, 0, x[1]]),
    cp.hstack([0, x[2], 0, 0]),
    cp.hstack([0, 0, x[3], 0]),
    cp.hstack([x[1], 0, 0, x[4]])
])

方法2：利用分块对角结构构造 #

你给出的矩阵实际是分块对角结构，用分块拼接的方式写更简洁，也不容易出现下标错误：

# 左上角2*2对称块
block1 = cp.vstack([
    cp.hstack([x[0], x[1]]),
    cp.hstack([x[1], x[4]])
])
# 右下角2*2对角块
block2 = cp.diag(cp.hstack([x[2], x[3]]))
# 拼接为完整4*4矩阵
A = cp.bmat([
    [block1, np.zeros((2, 2))],
    [np.zeros((2, 2)), block2]
])

添加半正定约束 #

cvxpy中使用>>运算符来表示半正定锥约束，等价于Matlab中的semidefinite约束，直接添加即可：

constraints = [A >> 0]

后续你就可以把这个约束加入到你的优化问题中正常求解了。

注意：半正定约束仅支持对称（实矩阵）/埃尔米特（复矩阵）矩阵，构造矩阵时需要保证结构对称，否则cvxpy会直接报错。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zhong Guo