R中基于lm对非线性函数做线性回归的公式编写咨询

首先明确：只有满足可线性化变换规则的非线性模型，才能通过变量代换后用lm()做线性回归，以下是不同非线性模型的对应写法：

• 你之前使用的幂函数模型（Y = β1 * X1^β2 * ε，两边取自然对数后得到lnY = lnβ1 + β2*lnX1 + lnε），和你给出的result <- lm(log(Y) ~ log(X1), data=dataset)完全对应，拟合得到的截距项取exp()后就是原模型的β1，斜率直接对应原模型的β2。
• 若第二个模型是指数函数模型：Y = β1 * exp(β2X1 + ε)，两边取自然对数后得到lnY = lnβ1 + β2X1 + ε，对应lm()写法为：

  result <- lm(log(Y) ~ X1, data = dataset)
  

  拟合后截距取exp得到β1，斜率直接为β2。
• 若第二个模型是对数函数模型：Y = β1 + β2*lnX1 + ε，不需要对Y做变换，对应lm()写法为：

  result <- lm(Y ~ log(X1), data = dataset)
  

  拟合输出的截距和斜率直接对应原模型的β1、β2。
• 若第二个模型是倒数模型：Y = β1 + β2*(1/X1) + ε，对应lm()写法为：

  result <- lm(Y ~ I(1/X1), data = dataset)
  

  这里用I()是为了让R把括号内的运算识别为变量代换，而非公式的特殊符号。
• 若第二个模型是二次多项式模型：Y = β1 + β2X1 + β3X1² + ε，对应lm()写法为：

  result <- lm(Y ~ X1 + I(X1^2), data = dataset)
  # 也可以用poly函数简化写法：
  result <- lm(Y ~ poly(X1, 2, raw=TRUE), data = dataset)
  

注意：所有通过变换得到的线性回归结果，还原到原模型时误差项的假设会发生变化，如果你需要原模型的误差项满足正态同分布假设，建议优先用nls()做非线性最小二乘拟合，而非线性化变换。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者polycodor