基于XYZ坐标系的3D运动球体碰撞时间计算公式求解

核心思路 #

• 两个球体发生碰撞的充要条件：t时刻两球心的距离 ≤ 两球半径之和
• 通过相对运动转化可以将问题简化为一元二次方程求解，不需要迭代计算

变量定义 #

统一参数记法如下：

• 物体1初始位置矢量：$\vec{P_1} = (x_1, y_1, z_1)$，速度矢量：$\vec{V_1} = (V_{x1}, V_{y1}, V_{z1})$，碰撞半径$r_1$
• 物体2初始位置矢量：$\vec{P_2} = (x_2, y_2, z_2)$，速度矢量：$\vec{V_2} = (V_{x2}, V_{y2}, V_{z2})$，碰撞半径$r_2$
• 初始相对位置矢量：$\vec{dP} = \vec{P_1} - \vec{P_2}$
• 相对速度矢量：$\vec{dV} = \vec{V_1} - \vec{V_2}$
• 两球刚好接触的临界距离：$R = r_1 + r_2$

公式推导 #

t时刻两球的位置分别为：
$\vec{P_1}(t) = \vec{P_1} + \vec{V_1} * t$
$\vec{P_2}(t) = \vec{P_2} + \vec{V_2} * t$
碰撞时满足距离条件：
$|\vec{P_1}(t) - \vec{P_2}(t)| \leq R$
两边平方消去根号（模长平方等于矢量自身点积）：
$(\vec{dP} + \vec{dV} * t) \cdot (\vec{dP} + \vec{dV} * t) \leq R^2$
展开后得到标准一元二次方程：
$a * t^2 + b * t + c = 0$
三个系数计算规则：

• $a = \vec{dV} \cdot \vec{dV}$：相对速度的模长平方
• $b = 2 * (\vec{dP} \cdot \vec{dV})$：初始相对位置和相对速度点积的2倍
• $c = |\vec{dP}|^2 - R^2$：初始相对距离平方减去半径和平方

结果判定逻辑 #

按一元二次方程的解的情况分类判断：

1. 当$a = 0$时：
   说明两球相对静止，若$c \leq 0$则初始时刻已经碰撞，返回$t=0$；若$c>0$永远不会碰撞，返回No collision
2. 当$a > 0$时：
   先计算判别式$D = b^2 - 4ac$
   • 若$D < 0$：方程无实根，两球运动轨迹没有交点，返回No collision
   • 若$D \geq 0$：计算两个实根 $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$，$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$（$t_1 \leq t_2$）
     • 若$t_2 < 0$：两次碰撞都发生在测试开始之前，当前不会碰撞，返回No collision
     • 若$t_1 \leq 0$：测试开始时两球已经处于碰撞状态，返回$t=0$
     • 若$t_1 > 0$：首次碰撞时间为较小的根$t_1$，保留三位小数即可匹配示例结果

注：你给出的第二个示例存在输入笔误，正确参数应为v(2)=(-4,3,-10)、r(2)=6，修正后代入计算得到的结果和标注的0.492完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vahid Najafi