如何通过积分求给定函数区域的质心（含被切割圆形实例）

首先利用图形对称性可以大幅简化计算：该区域关于过圆心且垂直于切割线的x轴对称，因此质心的y坐标恒为0，仅需要计算x方向的坐标即可。
你可以选择以下两种方法计算，结果一致：

方法1：积分直接计算 #

• 首先平移坐标系简化运算：将完整圆形的圆心平移至坐标系原点，此时圆的方程为 x² + y² = r²（r=3为圆半径），原切割线x=5.3对应新坐标系下的 x = a = 5.3 - x_0，其中x_0为原坐标系下圆心的x坐标（若你所用的圆默认圆心在x=3位置，则a=2.3）
• 区域面积A计算公式：
  因为上下对称，可仅计算上半部分再乘2，积分范围为x从-3到a：
  A = ∫(-3→a) 2*√(r² -x²) dx
  也可以直接用圆面积减去弓形面积：A = πr² - [r² arccos(a/r) - a√(r² -a²)]，代入r=3、a=2.3可得A≈26.46
• 对y轴的静矩计算公式：
  M_y = ∫(-3→a) x*2*√(r² -x²) dx
  换元u=r²-x²即可快速求解积分，代入参数可得M_y≈-4.76
• 平移后坐标系下的质心x坐标为 x̄' = M_y / A ≈ -0.18，还原到原坐标系下的质心x坐标为 x̄ = x_0 + x̄' ≈ 2.82

方法2：组合图形加权法（无需积分） #

将待计算区域视为完整圆减去被切掉的右侧小弓形，用质心加权公式直接计算：

• 完整圆参数：面积A₁=πr²≈28.27，质心在圆心(x₀, 0)
• 被切掉的弓形参数：
  面积A₂ = r² arccos(a/r) - a√(r² -a²)≈1.82
  弓形质心到圆心的距离公式为 d = 4r sin³(θ/2) / [3(θ - sinθ)]，其中θ为弓形对应的圆心角θ=2arccos(a/r)≈1.39弧度
  代入计算可得弓形质心x坐标为x₂ = x₀ + d≈5.61
• 待求区域质心x坐标满足加权平衡公式：A₁x₀ = A x̄ + A₂x₂，代入数值计算可得x̄≈2.82
  两种方法结果完全一致，你可以根据自己的需求选择，如果需要适配其他参数的切割圆，直接替换对应半径、切割线位置、圆心坐标即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user17595066