如何通过GLM的模型偏差手动计算对数似然值

换算关系的成立条件 #

你课程中学到的似然比检验公式完全正确，而对数似然值 = deviance / -2的说法并非普适的绝对换算公式，仅在计算两个模型的对数似然差值、或假设饱和模型对数似然为0的相对计算场景下成立，背后原理来自GLM偏差的标准定义：

GLM的残差偏差（即R的glm()输出中给出的Residual Deviance项） 定义为：
$D = -2 \times [\ln L(\hat{\beta}) - \ln L(S)]$
其中：

• $\ln L(\hat{\beta})$为当前拟合模型的最大对数似然值
• $\ln L(S)$为饱和模型（参数数量等于观测数、可完美拟合所有观测的模型）的最大对数似然值

将公式移项即可得到当前模型的对数似然：
$\ln L(\hat{\beta}) = \ln L(S) - \frac{D}{2}$
如果直接套用$\ln L(\hat{\beta}) = D/-2$，本质是把饱和模型的对数似然$\ln L(S)$默认取0做相对换算，得到的不是模型的真实绝对对数似然值。

似然比检验偏差差公式的原理 #

全局显著性检验中，似然比统计量等于两个模型偏差的差值，核心原因是两个待比较模型的饱和模型完全相同，$\ln L(S)$在做差时直接抵消：

• 记截距-only模型（H0对应模型）的残差偏差为$D_0$，对数似然为$\ln L(M_0)$
• 记带自变量的完整模型（H1对应模型）的残差偏差为$D_1$，对数似然为$\ln L(M_1)$

代入偏差定义做差可得：
$D_0 - D_1 = [-2(\ln L(M_0) - \ln L(S))] - [-2(\ln L(M_1) - \ln L(S))] = -2 \times [\ln L(M_0) - \ln L(M_1)] = -2 \ln \frac{L(M_0)}{L(M_1)}$
和你课程中学到的似然比统计量公式完全一致，所以该换算关系在模型比较场景下100%成立，不需要考虑饱和模型的对数似然取值。

仅靠提供的GLM输出获取对数似然的方法 #

• 若需要绝对对数似然值：仅靠默认glm()输出的残差偏差、零偏差等信息无法计算，因为缺少饱和模型的对数似然项，必须通过logLik(model)直接调取。
• 若需要两个模型的对数似然差值：直接将两个模型的残差偏差做差后除以-2即可，不需要额外参数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Theo75