Matlab最小二乘拟合概率密度函数报维度错误及绘图异常排查

异常的核心是维度不匹配引发的连锁错误，Matlab给出的运算符修改提示属于误判：

• 初始写法Astar = inv(H'*H)*H'*y_报错的本质不是乘法类型选错，是向量维度不符合矩阵运算要求：
  • 代码中bin是步长0.5的行向量，hist返回的频数结果f（即赋值后的y_）同样是1×n的行向量；而构造的设计矩阵H是n行2列的列向量组格式，inv(H'*H)*H'计算得到的是2×n的系数矩阵。
  • 标准矩阵乘法要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，2×n矩阵和1×n行向量做*运算时内维度n≠1，自然触发维度不匹配报错，Matlab的自动修复提示错误推荐了逐元素运算.*，属于误导。
• 修改为.*后出现平直线，是因为逐元素运算完全偏离最小二乘的计算逻辑：
  • 逐元素运算要求两个变量维度完全一致，Matlab会自动把1×n的y_广播复制为2×n的矩阵，和2×n的inv(H'*H)*H'逐位相乘，最终得到的Astar是2×n的矩阵，完全不是最小二乘要求的2×1参数向量（仅包含截距、斜率两个系数）。
  • 后续执行H*Astar时，n×2的矩阵乘2×n的矩阵会得到n×n的矩阵，Matlab默认绘制多列数据时如果维度和x轴不匹配，仅读取第一列数据绘图，就会出现你看到的底部异常平直线。

不需要用逐元素乘法，只需要统一向量维度为列向量即可：

N = 10000;
mu = 5; sigma = 2;
r = randn(N,1);
x = mu+sigma*r;
bin=mu-6*sigma:0.5:mu+6*sigma;
f=hist(x,bin);
plot(bin,f,'bo'); hold on;
xlabel('bin');
ylabel('f');

y_ = f(:); % 强制转为列向量，规避维度问题
x_ = bin(:);

H = [ones(length(y_),1),x_];
Astar = inv(H'*H)*H'*y_; % 保留标准矩阵乘法即可
% 更推荐用反斜杠求解，数值稳定性更好：Astar = H\y_;
Ytilde = H*Astar;
plot(x_,Ytilde, 'r-','LineWidth',1)

异常运行结果参考：

内容的提问来源于stack exchange，提问作者lambduh