预算支出最大化动态规划实现非最优问题排查

你推导的递推方程完全正确，这个问题是经典的0-1背包问题——你没快速匹配到原型，是因为这个场景下每个项目的“价值”等于自身成本，目标是总价值（总支出）尽可能接近背包容量（总预算），和教材里“重量、价值分离”的常规背包描述有细微差异。
你的实现错误和递推逻辑无关，核心是一维滚动数组的遍历逻辑写错了。

你设计的一维记忆数组C、从右向左填充的思路本身是0-1背包的标准空间优化方案，但你实现时犯了关键错误：

• 错误维护了一个全局的剩余预算变量，处理项目时只跟踪“选当前项目”这单一路径的预算变化，完全丢弃了“不选当前项目”的并行状态，本质退化成了“遇到能装就装”的贪心算法，自然无法得到全局最优。
• 额外的细节错误：你提到数组C大小等于B，对应预算0到B的话数组长度需要是B+1，长度为B时最大索引是B-1，本身就无法存储预算满额B的结果。

严格按照递推关系落地一维DP的逻辑即可，核心是两层循环的嵌套顺序和遍历方向：

• 初始化长度为B+1的数组C，所有元素初始值为0，C[b]表示预算为b时能实现的最大支出
• 外层循环：逐个遍历所有项目p_i，遍历顺序不影响最终结果
• 内层循环：从最大预算B开始倒序遍历，直到预算值等于当前项目成本p_i为止，对每个预算档位b执行更新：C[b] = max(C[b], C[b - p_i] + p_i)
  • 倒序遍历的作用是保证更新C[b]时，用到的C[b-p_i]是处理上一个项目时的留存状态，不会出现同一个项目被重复选中的问题
• 所有项目遍历完成后，C[B]就是所求的最大支出值

用你给出的B=50、P=[10,20,40]用例走一遍流程就能验证正确性：

初始状态：C是长度51的全0数组，索引0~50对应0到50的预算档位

1. 处理第一个项目p=10：
   从b=50倒序到10更新，所有b>=10的位置C[b] = max(0, C[b-10]+10) = 10
2. 处理第二个项目p=20：
   从b=50倒序到20更新，例如b=50时取max(10, C[30]+20=30)得30；b=30时取max(10, C[10]+20=30)得30。处理完成后，b>=30档位值为30，20<=b<30档位值为20，10<=b<20档位值为10
3. 处理第三个项目p=40：
   从b=50倒序到40更新：b=50时取max(30, C[10]+40=50)得50；b=40时取max(30, C[0]+40=40)得40
   最终C[50] = 50，和最优解一致

• 绝对不要用全局变量跟踪单条路径的剩余预算：一维DP数组的核心是同时保存所有可能预算档位下的最优值，覆盖“选/不选当前项目”的所有分支状态
• 内层循环必须倒序：如果改成正序遍历，会变成允许同一个项目重复选取的完全背包逻辑，不符合项目只能选一次的要求
• 内层循环不需要遍历到0：当预算小于当前项目成本时，项目无法被选中，对应位置的值不需要更新，遍历到p_i即可减少无效计算

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lightsong