xcorr与finddelay延迟计算输出结果不一致的原因

复现代码 #

fs = 1.0e4;
t = 0:1/fs:0.005;
signal = cos(2*pi*1000*t)'; 
shifted_signal = delayseq(signal,5); 
subplot(2,1,1)
plot(t.*1000,signal) 
title('Input')
subplot(2,1,2)
plot(t.*1000,shifted_signal) 
title('5 Sample Delay')
xlabel('msec')
[c, lags]=xcorr(signal,shifted_signal);
[A,I]=max(abs(c));
figure (2)
plot(lags,c);
d1=finddelay(signal,shifted_signal);
d2=lags(I);

异常现象 #

运行上述代码会得到两个和预期不符的结果：

• 取xcorr互相关绝对值峰值对应的延迟值d2=-5，和预期的5个采样点延迟符号相反
• finddelay函数返回的延迟值d1=0，完全不符合预设的5采样点延迟

具体原因 #

两个异常分别由函数定义理解偏差、测试参数踩坑导致：

1. xcorr返回-5的原因 #

这个结果完全符合函数定义，不存在计算错误：
xcorr(x,y)的互相关计算公式为 $R_{xy}[k] = \sum_n x[n+k] \cdot y^*[n]$，返回的lags(k)对应的物理意义是：y序列固定，将x序列向左移动k个采样点后，两个序列的相似程度。
测试中的shifted_signal是原信号向右延迟5个采样点得到的，即满足shifted_signal[n] = signal[n-5]，代入公式可以推导得到互相关峰值出现在k=-5的位置。如果需要得到正的5作为结果，只需要调换输入顺序，调用xcorr(shifted_signal, signal)即可。

2. finddelay返回0的原因 #

这个问题是测试参数刚好命中了函数的检测逻辑盲区：

• 首先信号参数存在特殊对应关系：采样率为1e4Hz，信号频率为1000Hz，因此余弦信号的周期恰好为10个采样点，延迟5个采样点刚好对应半个信号周期，延迟后的信号和原信号完全反相，即shifted_signal[n] = -signal[n-5]。
• 其次finddelay的默认检测逻辑是寻找互相关的正最大值作为匹配位置，不会考虑负的相关峰值。而真实延迟位置（lag=-5）的相关值是负的，不会被判定为有效匹配。
• 最后delayseq生成整数延迟信号时，会在序列头部补对应数量的零、尾部截断超出原长度的部分，破坏了余弦信号的严格周期性，最终互相关的正最大值恰好出现在lag=0位置，因此返回0。

验证方法 #

任意修改一个参数打破半周期延迟的特殊条件即可复现正确结果，比如将信号频率改为1001Hz，或者将延迟采样数改为4，重新运行就会发现finddelay可以返回正确的延迟值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mrinmoyee Mukherjee