为何np.linalg.eig对角化对称矩阵时未返回酉矩阵？

• np.linalg.eig是面向所有类型方阵的通用特征值分解实现，不会针对实对称/厄米矩阵做特殊算法适配，不保证返回的特征向量矩阵满足酉矩阵/正交矩阵性质。
• 你构造的矩阵存在明显的二重特征值简并：整个矩阵是4个结构完全相同的2×2子块沿对角线排列而成，共4组两两重复的特征值。对于存在重特征值的矩阵，通用特征值求解器仅保证返回的同特征值对应的特征向量线性无关，不会自动执行正交化处理，这是你得到的U不满足列正交要求的核心原因。
• 即使是无简并的对称矩阵，np.linalg.eig使用的通用算法计算得到的特征向量正交性、归一化精度都远低于对称矩阵专用算法，数值误差会明显更大。

注意：你之前排除特征向量缩放的判断存在偏差，问题本质不是单个特征向量的模长不对，而是重特征值对应的特征向量之间没有做正交处理，哪怕手动把所有列向量归一化，得到的矩阵依然不满足酉矩阵要求。

对实对称/复厄米矩阵做特征值分解时，应当使用numpy专门提供的np.linalg.eigh函数：

• 该函数针对厄米矩阵的数学性质设计，计算效率、数值精度都优于通用的eig
• 函数返回的特征向量矩阵严格满足酉矩阵性质，即U @ U.conj().T = U.conj().T @ U = I

将原代码中的特征值分解部分替换为Lambda, U = np.linalg.eigh(X)即可，修正后代码运行结果如下：

import numpy as np

X = np.array([[-1.1918157 ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.09852097,
         0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        , -1.1918157 ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
         0.09852097,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        , -1.08529969,  0.        ,  0.        ,
         0.        ,  0.07826825,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        , -1.08529969,  0.        ,
         0.        ,  0.        ,  0.07826825],
       [ 0.09852097,  0.        ,  0.        ,  0.        , -1.00585682,
         0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.09852097,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
        -1.00585682,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.07826825,  0.        ,  0.        ,
         0.        , -0.98276093,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.07826825,  0.        ,
         0.        ,  0.        , -0.98276093]])

Lambda, U = np.linalg.eigh(X)

print(
    np.allclose(U @ U.conj().T, np.identity(U.shape[0])),
    np.allclose(U.conj().T,     np.linalg.inv(U))
)
print(
    np.linalg.norm(U @ U.conj().T - np.identity(U.shape[0])),
    np.linalg.norm(U.conj().T - np.linalg.inv(U))
)

输出：

True True
1.1028512468891358e-15 1.0097876384002367e-15

误差在双精度浮点数的计算精度范围内，完全符合酉矩阵的性质要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Solarflare0