MATLAB中求解满足a*t-t*f=b*k的4×4未知矩阵t

你给出的方程属于Sylvester矩阵方程，并非标准形式的Lyapunov方程，在MATLAB中可以通过以下两种方法求解得到4×4未知矩阵t的全部元素。

第一步：定义已知参数 #

首先在MATLAB中录入所有给定的已知矩阵：

a = [0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0];
f = [-1 1 0 0;-1 -1 0 0;0 0 -1.5 0.5;0 0 -0.5 -1.5];
b = [0;1;0;-2];
k = [1 0 1 0];

求解方法 #

方法1：调用内置sylvester函数（推荐，代码最简洁） #

MATLAB控制系统工具箱提供的sylvester函数用于求解标准形式Sylvester方程：A*X + X*B = C。
你的待解方程a*t - t*f = b*k可以通过参数变形适配标准形式：令标准方程中A=a、B=-f、C=b*k，直接调用函数即可得到结果：

t = sylvester(a, -f, b*k)

说明：该函数适用于R2014a及以上版本MATLAB，需要提前安装控制系统工具箱。

方法2：克罗内克积转化为线性方程组求解（无工具箱依赖，兼容所有版本） #

如果没有安装控制系统工具箱，可以利用克罗内克积的矩阵向量化性质，把矩阵方程转化为普通线性方程组求解：对于A*X - X*B = C形式的方程，可通过克罗内克积变换将矩阵运算转化为线性方程组，对应MATLAB实现代码如下：

% 获取矩阵维度
n = size(a, 1);
m = size(f, 1);
% 构造线性方程组系数矩阵
coeff = kron(eye(m), a) - kron(f.', eye(n));
% 求解向量化结果后重构为4×4矩阵
t = reshape(coeff \ (b*k)(:), n, m);

结果校验 #

求解完成后可以代入原方程计算残差，验证结果正确性：

residual = norm(a*t - t*f - b*k)

正常情况下残差值会在1e-15量级，属于双精度浮点计算的正常误差范围，说明求解结果准确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trickk