如何在Sage中将GF(2^n)的各系数作为变量处理？

你之前直接用GF(2^n)定义的是系数固定为0/1的有限域元素，自然无法支持可变的GF(2)元素作为系数，正确的实现方式是分层构造多项式环：

• 第一层先构造系数环，用来承载你需要的a,b,c这类GF(2)变量
• 第二层构造以这个系数环为基础的一元多项式环，用来承载X的幂次运算

基础实现（普通多项式环） #

如果不需要自动对系数做GF(2)规则化简，可以直接用GF(2)上的多元多项式环当系数环：

# 定义GF(2)上的多元多项式环，生成元为需要的变量a,b,c
R.<a,b,c> = GF(2)[]
# 定义系数在R上的一元多项式环，变量为X
S.<X> = R[]

# 测试运算
sage: (a*X^10 + b) * (a*X^5)
a^2*X^15 + a*b*X^5

匹配预期效果的实现（自动应用GF(2)运算规则） #

如果需要运算结果自动符合GF(2)的元素特性：即a*a = a、a+a=0、满足乘法交换律，和示例里写的输出形式完全一致，把系数环换成布尔多项式环即可：

# 定义3个变量的GF(2)布尔多项式环，自动应用GF(2)运算规则
R.<a,b,c> = BooleanPolynomialRing(3, order='lex')
S.<X> = R[]

# 测试示例运算
sage: (a*X^10 + b) * (a*X^5)
a*X^15 + a*b*X^5

可以额外验证加法抵消的特性，完全符合GF(2)运算逻辑：

sage: (a*X + b) + (a*X + c)
b + c

为什么var函数不适用 #

Sage自带的var定义的是通用符号变量，默认基于实数/复数域的符号规则，不会自动执行GF(2)下的约简（比如a+a不会自动消为0，a*a不会自动等于a），因此不适合这类有限域上的多项式运算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者custo teem