R语言robustbase包lmrob拟合随机数据时p值异常显著问题

在存在少量异常值的数据集上开展稳健多元回归分析时，调用robustbase包的lmrob函数（MM估计法）出现显著关联数量异常偏多的问题，使用完全随机生成的数据集做验证测试，测试代码如下：

library(robustbase)
set.seed(4)
ax<-data.frame(a1=rnorm(20,3),
               a2=rnorm(20,5),
               a3=rnorm(20,4),
               a4=rnorm(20,6),
               a5=rnorm(20,2))
 
axm<-lmrob(a1~a2*a3*a4*a5,data=ax)
summary(axm)

运行结果显示第1个观测被判定为异常值、权重为0，所有自变量及各阶交互项的系数p值均远小于0.001，模型Multiple R-squared达0.9861、Adjusted R-squared达0.934，和随机变量无真实关联的逻辑矛盾。

这个现象不是lmrob函数本身的bug，是模型设定错误导致自由度严重不足引发的过拟合，核心问题有两点：

• 待估参数规模远超样本量：R公式中a2*a3*a4*a5是全交互项写法，会自动纳入所有变量的主效应、所有阶数的交互项，展开后含截距在内总共有32个待估系数，但测试数据集总样本量仅为20，待估参数数量已经大于样本量，模型本身属于不可识别的饱和模型，哪怕用普通最小二乘lm()拟合，也会出现随机噪声被完美拟合的假阳性结果。
• 稳健估计的降权机制进一步压缩有效样本：结果中第1个观测权重为0，意味着这一个样本完全不参与参数估计，实际有效样本量仅剩19，自由度不足的问题被进一步放大，模型会将所有随机波动解释为系统性关联，自然出现R方虚高、所有系数假显著的结果。

• 稳健回归没有突破经典回归的自由度要求：无论使用哪种稳健估计方法，都需要保证有效样本量（剔除权重为0的观测后）远大于待估参数数量，通用经验是有效样本量至少达到待估参数的5~10倍，结果才具备参考性。
• 不要随意纳入全阶交互项：无理论支撑的情况下把所有变量的所有高阶交互项纳入模型，哪怕样本量足够，也会大幅提升多重共线性和假阳性概率，小样本场景下尤其要避免这类设定。
• 验证方式：保持随机种子和数据集不变，将模型公式修改为仅纳入主效应的a1~a2+a3+a4+a5，此时待估参数仅6个，20个样本满足自由度要求，运行后就会得到随机数据应有的、无显著关联的合理结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Antón