已知平面方程如何计算其与x、y轴构成平面的夹角

x轴、y轴共同构成的平面就是z=0的xOy坐标平面，两个平面的夹角可以直接通过法向量计算，步骤如下：

• 首先提取两个平面的法向量
  • 待求夹角的目标平面一般式为 Ax + By + Cz + D = 0，其法向量直接取 n₁=(A,B,C)
  • xOy平面的方程为 z=0，其法向量取 n₂=(0,0,1)
• 两个平面的夹角定义为两平面形成的二面角中取值在[0, π/2]区间的锐角/直角，计算逻辑为取两个法向量夹角余弦的绝对值，除以两个法向量的模长乘积：

cosθ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)

• 代入n₂的数值可以简化公式：因为n₂的模长|n₂|=1，两个向量的点积n₁·n₂=C，因此公式可简化为：
  cosθ = |C| / sqrt(A² + B² + C²)
  按上式算出的θ就是两个平面的夹角，默认单位为弧度，需要角度值做弧度转角度换算即可。
  

举个计算示例：如果目标平面方程为2x + 3y + 6z = 12，代入公式可得cosθ=6/√(4+9+36)=6/7，对应夹角θ≈31.0°。
补充说明：如果你需要计算带方向的二面角（取值范围[0, π]），去掉公式里的绝对值符号即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者P. Vauclin