均值为0时X′X/(n−1)是否为Σ的无偏估计？

否

推导前先明确定义避免歧义：

• 取$p$维独立同分布随机样本$X_1,X_2,\dots,X_n$，总体均值向量已知为$\mu=0$，总体协方差矩阵$\Sigma = \text{Cov}(X_i) = E\left[X_iX_i'\right]$（均值为0时，协方差等于二阶原点矩）。
• $X$为$n\times p$的原始样本矩阵，第$i$行为$X_i$的转置，因此$X'X = \sum_{i=1}^n X_iX_i'$。
• 参考场景中$X_i$服从均值为0的多元正态分布，以下证明不需要依赖正态假设，仅要求总体二阶矩存在即可成立。

无偏估计的判定标准是估计量的期望等于待估参数，即验证$E\left[\frac{X'X}{n-1}\right] = \Sigma$是否成立：

1. 根据期望的线性性质，求和与期望可交换顺序，因此：
   $$E\left[X'X\right] = E\left[\sum_{i=1}^n X_iX_i'\right] = \sum_{i=1}^n E\left[X_iX_i'\right]$$
2. 结合已知条件$\mu=0$，每个样本的二阶原点矩都等于协方差矩阵，即$E\left[X_iX_i'\right] = \Sigma$，代入求和得：
   $$\sum_{i=1}^n E\left[X_iX_i'\right] = n\Sigma$$
3. 代入原估计量计算期望：
   $$E\left[\frac{X'X}{n-1}\right] = \frac{1}{n-1}E\left[X'X\right] = \frac{n}{n-1}\Sigma \neq \Sigma$$

可以看到该估计量的期望比真实协方差矩阵多出$\frac{1}{n-1}\Sigma$的偏差，因此不是无偏估计。

出现这个结果的核心原因是自由度的差异：

• 当总体均值$\mu$未知时，我们需要先用样本估计均值（损失1个自由度），再构造离均差叉积$\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(X_i-\bar{X})'$，该叉积的期望为$(n-1)\Sigma$，此时除以$n-1$得到的才是无偏估计，这个结论和总体均值的实际取值无关，也不需要正态分布假设。
• 当总体均值已知为0时，不需要额外估计均值，没有自由度损失，此时$\frac{X'X}{n}$才是$\Sigma$的无偏估计。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Atiq Ur Rehman