样本均值计算、相对频率直方图及E(X)、Var(X)/n正态曲线叠加

前置参数与理论值预计算 #

先明确场景固定参数，提前算出理论分布参考值：

• 单组样本量n=3
• 随机数种子固定为100，保证结果可复现
• 总体X服从[11,15]连续均匀分布，对应理论值：
  • 总体期望E(X) = (11+15)/2 = 13
  • 总体方差Var(X) = (15-11)^2/12 = 4/3 ≈ 1.333
  • 样本均值对应的理论正态分布参数：期望=13，方差=Var(X)/n = 4/9 ≈ 0.444，标准差=2/3 ≈ 0.667
• 总抽样组数为1280组

问题1：计算各组样本均值，得到均值分布Xₙ的全部取值 #

实现逻辑：将生成的随机样本按「每行对应一组样本」存为矩阵，按行求均值即可得到所有样本均值，也就是均值分布的全部取值。
对应可运行代码：

# 固定随机种子
set.seed(100)
# 生成1280组、每组3个服从[11,15]均匀分布的样本，每行对应1组样本
sample_matrix <- matrix(
  runif(n = 1280*3, min = 11, max = 15),
  nrow = 1280,
  ncol = 3
)
# 按行计算每组的均值，得到的长度为1280的向量就是均值分布Xₙ的全部取值
Xn <- rowMeans(sample_matrix)
# 可直接运行Xn查看全部取值，以下为打印前10个值做校验
head(Xn, 10)

问题2：绘制相对频率直方图并叠加理论正态曲线 #

实现逻辑：绘制直方图时关闭计数模式，切换为相对频率/密度坐标轴，再基于预计算的正态分布参数，在同一图层叠加正态密度曲线即可。
对应可运行代码：

# 绘制相对频率直方图
hist(
  Xn,
  freq = FALSE, # 设为FALSE时y轴为密度/相对频率，而非样本计数
  breaks = "Sturges", # 可自定义分箱数，比如直接写breaks=20指定分箱数量
  main = "样本均值分布相对频率直方图",
  xlab = "样本均值取值",
  ylab = "相对频率/密度",
  col = "lightblue",
  border = "white"
)
# 叠加理论正态分布密度曲线
curve(
  dnorm(x, mean = 13, sd = 2/3),
  add = TRUE, # 叠加到已有直方图图层
  col = "red",
  lwd = 2
)
# 添加图例区分元素
legend("topright",
  legend = c("相对频率直方图", "N(13, 4/9)正态密度曲线"),
  fill = c("lightblue", NA),
  border = c("white", NA),
  lty = c(NA, 1),
  col = c(NA, "red"),
  lwd = c(NA, 2)
)

运行代码后可直接得到可视化结果，能直观观测样本均值分布和理论正态分布的拟合效果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者CC-IDMC