如何在Wolfram Alpha中获取含floor函数积分的高精度数值近似

在阅读Ovidiu Furdui所著的《极限、级数与小数部分积分：数学分析问题》（Springer出版数学问题丛书）部分章节，以及AoPS（Art of Problem Solving）论坛相关讨论帖后，对如下积分产生了研究兴趣：

记该积分准确值为A，其20位精度近似值为：

A = 0.6449340668482264365

在Wolfram Alpha中输入如下查询代码时：

integrate 1/(floor(1/x)) from x=0 to 1 to 20 digits

平台返回的近似计算结果为：

A* = 0.64493701331278272222

两个结果从第7位小数开始出现偏差，核心原因是被积函数$\lfloor 1/x \rfloor$在区间$(0,1]$内存在无穷多个间断点（位置为$x=1/n, n$为正整数），Wolfram Alpha默认的数值积分算法采样无法覆盖所有趋近于0的窄小区间，产生了截断误差。

• 优先使用级数拆分计算：按$\lfloor 1/x \rfloor$的分段特性拆分积分区间，原积分可转化为收敛级数求和：
  对任意正整数$k$，当$x\in(1/(k+1),1/k]$时$\lfloor 1/x \rfloor=k$，因此
  $$A=\sum_{k=1}^\infty \int_{1/(k+1)}^{{1/k}\frac{1}{k}dx=\sum_{k=1}}\infty \frac{1}{k^2(k+1)}=\zeta(2)-1$$
  其中$\zeta(2)=\pi^2/6$是黎曼Zeta函数在2处的取值。在Wolfram Alpha中输入以下代码即可得到任意指定精度的结果，以20位精度为例：

  N[Sum[1/(k^2 (k + 1)), {k, 1, Infinity}], 20]
  

  也可以直接用闭式计算，效率更高：

  N[Zeta[2] - 1, 20]
  

• 若必须直接做数值积分，需要手动调整积分算法参数，提高递归深度、明确精度要求，示例代码如下：

  NIntegrate[1/Floor[1/x], {x, 0, 1}, Method -> "GlobalAdaptive", MaxRecursion -> 30, PrecisionGoal -> 20]
  

  注意这种方式计算效率远低于级数求和，精度要求越高耗时增长越快。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Max Lonysa Muller