MATLAB中矩阵存储多组数据的批量线性回归实现

你之前的单向量回归逻辑完全可以复用，逐列处理时构造设计矩阵报错，基本都是全1向量长度和x列长度不匹配、索引维度错误导致的，下面给出两种可直接运行的实现方案。

方案1：for循环实现（逻辑清晰，易调试，优先推荐） #

该方案完全沿用你已熟悉的单组回归逻辑，提前预分配内存存储所有列的结果，不会出现变量覆盖问题，出错时也方便逐列调试。
各结果存储规则：

• m2_all：2行N列矩阵，第一行为每组回归的截距，第二行为对应斜率
• yCalc_all：和输入X/Y同尺寸矩阵，每一列存储对应组的回归预测y值
• Rsq2_all：1行N列向量，存储每组回归的R²决定系数

% 输入尺寸校验
[n_sample, n_group] = size(X);
if ~isequal(size(X), size(Y))
    error('X和Y矩阵的行数、列数必须完全一致，才能逐列配对执行回归');
end

% 预分配内存（避免循环内动态扩容拖慢速度）
m2_all = zeros(2, n_group);
yCalc_all = zeros(n_sample, n_group);
Rsq2_all = zeros(1, n_group);

% 逐列执行回归
for col_idx = 1:n_group
    % 提取当前组的x、y数据
    x_curr = X(:, col_idx);
    y_curr = Y(:, col_idx);
    
    % 构造当前组的设计矩阵：第一列为全1向量（长度等于样本量），第二列为当前x列
    X_design = [ones(n_sample, 1), x_curr];
    
    % 核心回归计算
    m2_curr = X_design \ y_curr;
    yCalc_curr = X_design * m2_curr;
    ss_res = sum((y_curr - yCalc_curr).^2);
    ss_tot = sum((y_curr - mean(y_curr)).^2);
    Rsq2_curr = 1 - ss_res / ss_tot;
    
    % 结果存入对应存储位置
    m2_all(:, col_idx) = m2_curr;
    yCalc_all(:, col_idx) = yCalc_curr;
    Rsq2_all(col_idx) = Rsq2_curr;
end

方案2：向量化无循环实现（适合大矩阵高速运算） #

如果你的矩阵列数非常多（比如上千组回归），for循环会有一定性能开销，可以用稀疏矩阵构造全局设计矩阵，一次性求解所有组的回归结果，运算速度远高于循环。

[n_sample, n_group] = size(X);
if ~isequal(size(X), size(Y))
    error('X和Y矩阵的行数、列数必须完全一致');
end

% 构造稀疏全局设计矩阵
y_vec = Y(:);
X_design_sparse = [
    repelem(speye(n_group), n_sample, 1), ... % 截距项对应的块对角全1矩阵
    sparse(X(:))                              % 所有组的x值拼接为单列
];

% 一次性求解所有回归系数
m2_vec = X_design_sparse \ y_vec;
intercepts = m2_vec(1:n_group);
slopes = m2_vec(n_group+1:end);
m2_all = [intercepts'; slopes'];

% 批量计算预测值和R²
yCalc_all = reshape(X_design_sparse * m2_vec, n_sample, n_group);
ss_res = sum((Y - yCalc_all).^2, 1);
ss_tot = sum((Y - mean(Y,1)).^2, 1);
Rsq2_all = 1 - ss_res ./ ss_tot;

注意：如果某一列的x值完全相同（x无方差），反斜杠运算会抛出警告，且该列的ss_tot为0，计算出的R²为NaN，属于正常统计结果，代表该列数据不存在有效线性关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lisa Mills