如何精确计算桌游战斗平均剩余回合数的数学极限值

算力阿峰

2026-8-30

桌游战斗平均剩余回合数精确计算方案

问题背景

我在开发桌游赔率计算器时，需要计算单场战斗的平均持续回合数。战斗过程存在双方同时未命中的可能，理论上战斗可以无限持续，无法遍历全部分支路径，必须通过数学极限方法完成计算。
我通过模拟器验证，如下近似函数可以得到接近正确的结果，迭代上限LIMIT取值越大，计算精度越高：

// LIMIT 可取任意数值，取值越大结果精度越高
const LIMIT = 100;
// r: 至少一方命中时的剩余回合数
// x: 双方同时未命中的概率，该情况回合数+1，但战斗状态不发生变化
function approximateLimitForNumberOfRounds(r: number, x: number) {
  let approx = r / (1 - x);
  // n 趋近于无穷大
  for (let n = 1; n < LIMIT; n++) {
    approx += x ** n;
  }
  return approx;
}

已知参数x为概率值，取值范围满足0 < x < 1，需要修改上述函数，实现剩余回合数的精确计算，而非近似计算。

实现方案

原近似逻辑本质是计算无穷等比级数的部分和，利用无穷等比级数的闭式求和公式，可以直接得到精确结果，不需要循环迭代。

推导过程

代码中循环的作用是计算级数 sum_{n=1}^{LIMIT-1} x^n 的部分和。由于约束为0 < x < 1，当n趋近于无穷时x的高次幂会收敛到0，该无穷等比级数（首项为x、公比为x）的精确和为：
sum_{n=1}^∞ x^n = x/(1 - x)
代入原函数的极限表达式，合并后可得到精确值公式：
精确值 = r/(1-x) + x/(1-x) = (r + x)/(1 - x)

精确计算代码

/**
 * 计算战斗剩余平均回合数（精确值）
 * @param r 至少一方命中时的剩余回合数
 * @param x 双方同时未命中的概率，取值范围(0,1)
 */
function calculateExactRounds(r: number, x: number): number {
  return (r + x) / (1 - x);
}