同一非线性规划模型在GEKKO与LINGO中求解结果不一致的原因

我正在使用Python开展优化问题求解工作，考虑到GEKKO支持非线性规划求解，故选用该库搭建模型。为校验求解结果准确性，我在LINGO中构建了完全一致的简易模型，却发现二者返回的同模型求解结果数值不匹配，对应代码如下：

GEKKO 实现代码 #

from gekko import GEKKO

# Initialize Model
smplmdl = GEKKO()

# Create Variables
x = smplmdl.Array(smplmdl.Var, 3, lb = 0)
a = smplmdl.Array(smplmdl.Var, 3, lb = 0)

Constant_Val = [10, 15, 20]

for i in range(3):
    smplmdl.Equation(x[i]*(sum(a[j] for j in range(3))) == Constant_Val[i])

# Objective Function
smplmdl.Obj(sum(x[i] for i in range(3)))

smplmdl.options.IMODE = 3
smplmdl.solve()
smplmdl.options.OBJFCNVAL

print('x:', x)
print('a:', a)
print(smplmdl.options.OBJFCNVAL)

LINGO 实现代码 #

Min = x1 + x2 + x3;

x1*(a1 + a2 + a3) = 10;
x2*(a1 + a2 + a3) = 15;
x3*(a1 + a2 + a3) = 20;

两个模型返回结果不一致，核心原因是你搭建的模型本身不存在有限的唯一最优解，和求解器本身无关：

• 令S = a1 + a2 + a3，根据约束可以直接推导出x1=10/S、x2=15/S、x3=20/S，目标函数可化简为45/S。
• 你没有给a数组设置任何上界约束，S可以取无限大的正值，对应的目标函数可以无限趋近于0，属于典型的无界非线性规划问题。
• 这类无界问题没有确定的全局最优解，GEKKO（默认调用IPOPT求解器）和LINGO的默认初始点、迭代终止逻辑、收敛容差设置都不相同，最终会停在满足各自收敛条件的不同可行点上，自然返回数值不匹配。
• 额外说明：模型里a1/a2/a3三个变量仅以和的形式出现在约束中，三者的取值本身就有无穷多种组合，哪怕固定S的值，a的解也不唯一。

要让两个求解器返回一致的结果，你需要先补全模型定义，消除无界、无穷多解的问题：

• 根据实际业务逻辑给a变量补充合理的上界约束，比如限制单个a[i]的最大值，或者直接固定S的取值
• 对齐两个求解器的配置：包括变量边界、初始值、收敛精度参数，排除配置差异带来的结果偏差
• 如果业务上a本身就是无约束的，那这个问题本来就没有确定的最优解，求解器返回值不同是正常现象，不存在结果对错的说法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anas