如何构造具有指定特征值和特征向量的矩阵？

满足要求的矩阵确实存在，但不是任意随意指定的特征值、特征向量组合都能找到对应矩阵，需要符合特征值、特征向量的基本定义约束。

前置约束 #

你指定的特征值、特征向量组合必须满足以下条件，否则不存在符合要求的矩阵：

• 同一特征值对应的所有特征向量必须构成线性子空间：也就是说如果v、u都是特征值λ对应的特征向量，那么对任意常数a、b，只要av+bu不是零向量，它也必须是λ对应的特征向量。如果你强行要求某两个同特征值的特征向量的非零线性组合不是该特征值的特征向量，这种要求本身违反特征向量的定义，不可能构造出对应矩阵。
• 构造数域要匹配：比如你要构造元素全为实数的矩阵，就不能指定非实数的复特征值。
• 几何重数不超过代数重数：如果要构造n阶方阵，单个特征值对应的线性无关特征向量的个数，不能超过这个特征值在特征多项式里的根重数；所有线性无关特征向量的总个数不能超过n。

通用构造步骤（可对角化矩阵，日常90%以上的场景都适用） #

如果你给定的特征向量组满足上述约束，按以下步骤构造即可：

1. 把所有指定的、线性无关的特征向量作为列向量拼接成矩阵，如果你要构造n阶方阵但给定的线性无关特征向量数量不足n个，就补充若干个和已有向量线性无关的列，把矩阵补成n阶可逆矩阵，记为P。
2. 构造同阶对角矩阵Λ，对角线上第i个元素，就填P里第i个列向量对应的预设特征值；你自己补充的列对应的对角元，可以根据需求任意赋值，没有额外要求的话填0或者复用已有特征值都可以。
3. 计算P的逆矩阵P⁻¹，最终符合要求的矩阵就是A = PΛP⁻¹。

举个验证样例：要构造2阶矩阵，要求特征值2对应特征向量$[1,0]^{T$，特征值3对应特征向量$[1,1]}T$。按步骤取P = [[1,1],[0,1]]，Λ = [[2,0],[0,3]]，计算得P⁻¹ = [[1,-1],[0,1]]，相乘得A = [[2,1],[0,3]]。代入验证：$A[1,0]^T = [2,0]^T = 2[1,0]^T$，$A[1,1]T = [3,3]^T = 3[1,1]^T$，完全符合预设要求。

特殊情况说明 #

如果你预设的同特征值下的特征向量存在线性相关的情况（比如同时指定λ=2对应$[1,0]^T$和$[2,0]T$），不需要额外处理，只需要保留其中线性无关的向量按上述步骤构造即可，最终得到的矩阵自然会满足所有共线向量都是对应特征向量的要求。
如果需要构造不可对角化的矩阵（也就是存在Jordan块的情况），只需要把上述步骤里的对角矩阵Λ换成对应Jordan标准型即可，特征向量放置的列位置和Jordan块的对应关系保持一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Blanc