有理贝塞尔曲线分割：升维De Casteljau法的投影矩阵与权重转换问询

你不需要使用配置视场角、宽高比的透视投影矩阵，这类矩阵用于3D视口变换，和有理贝塞尔的升维分割逻辑无关。整个流程的核心是齐次坐标的加权嵌入规则，不需要额外矩阵变换，具体操作规则如下：

• 升维构造控制点时，不能直接将权重赋值为额外维度的坐标值。对于2D平面上的控制点p_i=(x_i, y_i)及对应权重w_i，升维到3D齐次空间的正确坐标为(w_i*x_i, w_i*y_i, w_i)，即原始xy坐标需要先乘以对应权重，再将权重本身作为第三维分量。
• 升维完成后，直接在3D空间运行标准De Casteljau算法做线性插值分割即可，原有代码中用mix逐段插值的逻辑本身是正确的，仅需要修正输入的3D控制点构造方式。
• 分割得到的两段3D贝塞尔曲线控制点，不需要乘以任何变换矩阵，直接执行齐次除法即可投影回2D空间：对任意3D点(X,Y,W)，投影后的2D坐标为(X/W, Y/W)，该点对应的有理贝塞尔权重就是分量W。

原有代码无法对齐加权曲线的核心原因是构造3D点时没有给xy坐标乘对应权重，本质是没有正确完成齐次坐标的加权映射，和投影参数无关。

修正后的代码参考如下：

vec3[6] split(float[3] r, vec2[3] p, float t)
{
    // 正确构造齐次控制点
    vec3 a = vec3(p[0] * r[0], r[0]);
    vec3 b = vec3(p[1] * r[1], r[1]);
    vec3 c = vec3(p[2] * r[2], r[2]);

    // 升维空间内标准De Casteljau插值逻辑无需修改
    vec3 ab = mix(a, b, t);
    vec3 bc = mix(b, c, t);
    vec3 m = mix(ab, bc, t);
    
    vec3[3] l = vec3[3](a, ab, m);
    vec3[3] R = vec3[3](m, bc, c);
    return vec3[6](l[0], l[1], l[2], R[0], R[1], R[2]);
}

// 辅助工具：将3D齐次点转换为带权重的2D控制点
vec3 toWeighted2D(vec3 homoPoint) {
    float w = homoPoint.z;
    return vec3(homoPoint.xy / w, w);
}

该规则对任意阶有理贝塞尔曲线通用：N维有理贝塞尔可直接升维到N+1维齐次空间，执行所有非有理贝塞尔支持的操作（分割、升阶、求值等），操作完成后通过齐次除法降回N维即可，结果与直接在N维空间做有理贝塞尔计算完全等价。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Illari