遍历m×n二维数组边界的Big-O时间复杂度计算是否正确？

你的推导最终量级结果是对的，但推导过程存在两处明显疏漏，逻辑不严谨。

• 第一处：边界元素计数存在重复计算问题
  你在推导初始直接按top + right + bottom + left累加边界元素数量，没有考虑四个角的元素同时属于两条边：左上角同时属于top、left边，右上角同时属于top、right边，左下角同时属于bottom、left边，右下角同时属于bottom、right边，直接累加会把4个角元素各重复计算1次。实际边界元素的准确数量是2m + 2n -4，量级为O(m + n)，重复计算的4个元素属于常数项，不会影响大O表示法的最终量级，但计数逻辑不严谨。
• 第二处（核心逻辑疏漏）：完全忽略了双层循环本身的遍历开销
  你给出的代码是用两层嵌套循环遍历整个m x n数组的所有元素，并不是只遍历边界元素：不管当前元素是不是边界，循环都会执行一次O(1)的if条件判断，这部分的固定开销是O(mn)。你从推导第一步开始就只计算了边界元素触发内部函数的开销，完全没有提及全量遍历的成本。
  虽然在你给出的场景里，内部单次操作的时间复杂度是O(mn)，边界触发函数的总开销是O((m+n)*mn) = O(m²n + mn²)，比遍历本身的O(mn)高两个量级，不会改变最终的复杂度结果，但这个遗漏属于推导逻辑的硬伤——如果内部操作的时间复杂度是O(1)，按你的推导逻辑会错误得到总复杂度O(m+n)，但实际总复杂度是O(mn)，和正确结果差了一个量级。

1. 计算固定遍历开销：两层循环遍历所有m*n个元素，每次执行O(1)的判断，这部分开销为O(mn)。
2. 计算边界操作的开销：
   • 边界元素总数量为2m + 2n -4，量级为O(m+n)
   • 每命中一个边界元素，执行一次时间复杂度为O(mn)的函数
   • 这部分总开销为O((m+n) * mn) = O(m²n + mn²)
3. 大O表示法只保留最高阶项，去掉低阶的O(mn)和所有常数系数、常数项，最终最坏情况时间复杂度为O(m²n + mn²)，和你最终得到的结果数值一致，但推导逻辑需要修正。

补充说明：如果二维数组出现退化场景（比如m=1为单行数组，或n=1为单列数组），所有元素都属于边界元素，边界元素数量为m*n，代入上述公式计算得到的复杂度结果依然成立，不存在量级偏差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者lbragile