Python中如何对lambda函数求导生成n阶导对应的lambda函数

不要采用逐点数值差分近似的方案，这类方案计算n阶导会引入O(h^n)级别的截断误差，递归计算效率随阶数升高指数下降。直接走符号代数求导路线，生成精确导函数表达式后再封装为lambda，全程无精度损失，高阶导计算效率稳定。
之前用sympy未得到理想效果，通常是未正确提取lambda的表达式结构，直接传入函数对象导致sympy无法解析内部运算逻辑。

import inspect
import sympy as sp
from sympy.utilities.lambdify import lambdify

def derivative_lambda(f, n=1, var_name='x'):
    """
    输入单变量lambda函数f，返回其n阶导对应的lambda函数
    参数:
        f: 输入的纯Python实现单变量lambda，无C扩展调用
        n: 求导阶数，默认值为1
        var_name: 函数自变量名，默认值为x
    """
    # 提取lambda源码，切分出冒号后的表达式部分
    f_source = inspect.getsource(f).strip()
    expr_str = f_source.split(':', 1)[1].strip()
    # 定义符号变量
    x = sp.symbols(var_name)
    # 字符串表达式转sympy符号对象，可按需补充local_dict映射math模块函数
    expr = sp.parse_expr(
        expr_str,
        local_dict={'sin':sp.sin, 'cos':sp.cos, 'tan':sp.tan, 
                    'exp':sp.exp, 'log':sp.log, 'sqrt':sp.sqrt}
    )
    # 计算n阶符号导数
    deriv_expr = sp.diff(expr, x, n)
    # 符号表达式转可直接调用的lambda
    return lambdify(x, deriv_expr, 'math')

# 测试基础案例
f = lambda x : x**2
f1 = derivative_lambda(f, n=1)
print(f1(5))  # 输出10，和lambda x:2*x的计算结果完全一致

f2 = derivative_lambda(f, n=2)
print(f2(999)) # 输出2，等价于常数函数lambda x:2

# 测试复杂函数
f_test = lambda x : x**4 + 3*x + exp(x)
f3_test = derivative_lambda(f_test, n=3)
print(f3_test(0)) # 三阶导为24*x + exp(x)，代入x=0输出1.0，结果精确

• 输入lambda必须是纯Python表达式实现的单变量数学函数，无C扩展调用、无分支/循环/IO等非表达式逻辑，完全匹配给定的使用前提
• 求任意阶导数都只需要一次符号解析+一次求导+一次lambda封装，不会因为阶数升高出现效率陡降、误差累积的问题
• 如果lambda的自变量名不是默认的x，比如自变量是t，调用函数时传入var_name='t'即可适配
• 若表达式中用到更多数学函数，只需要在parse_expr的local_dict参数里补充对应sympy函数映射即可正常解析

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cardstdani