已知A/B/C/D矩阵的状态空间模型如何实现输入输出集变换

该变换全程不需要将状态空间模型转换为传递函数，仅通过原A、B、C、D矩阵的分块和线性代数运算即可实现。

前置矩阵分块 #

原模型输出Y共9维，其中前5维为新输入U_new，后4维为新输出Y_new，首先将原C、D矩阵按输出维度拆分为4个子块：

• C1：原C矩阵的前5行，对应y1~y5的状态输出系数，维度为5×23
• C2：原C矩阵的后4行，对应y6~y9的状态输出系数，维度为4×23
• D1：原D矩阵的前5行，对应y1~y5的原输入馈通系数，维度为5×5，满足 U_new = C1*X + D1*U
• D2：原D矩阵的后4行，对应y6~y9的原输入馈通系数，维度为4×5，满足 Y_new = C2*X + D2*U

变换存在的前提条件 #

必须保证5×5的子矩阵D1满秩可逆，否则原输入U无法通过新输入U_new和状态X唯一表示，不存在和原模型同状态维度的标准状态空间实现，需要先处理代数约束做降阶才能得到等效模型。

新状态空间矩阵计算 #

当D1可逆时，首先从U_new的表达式反解原输入U：
U = D1⁻¹ * (U_new - C1*X)
将该式分别代入原状态方程和新输出的表达式，即可直接得到新模型的四个系数矩阵：

1. 新状态方程 X' = A_new*X + B_new*U_new 对应系数：
   • A_new = A - B * D1⁻¹ * C1，维度23×23，和原模型状态维度一致
   • B_new = B * D1⁻¹，维度23×5，匹配新输入的维度
2. 新输出方程 Y_new = C_new*X + D_new*U_new 对应系数：
   • C_new = C2 - D2 * D1⁻¹ * C1，维度4×23
   • D_new = D2 * D1⁻¹，维度4×5，匹配新输入、新输出的维度

校验提示：计算完成后可选取一组测试输入，分别代入原模型和新得到的模型做仿真，对比输出结果一致性即可验证计算正确性。

计算流程清单 #

• 按输出子集划分规则拆分原C、D矩阵为C1、C2、D1、D2四个子块
• 计算D1的行列式或秩，校验其可逆性
• 求解D1的逆矩阵
• 代入上述公式分别计算A_new、B_new、C_new、D_new
• 选取测试用例验证新模型的输入输出特性和原模型一致

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A1ireza