Sympy1.10调用GramSchmidt误判正交向量非线性独立问题

问题现象 #

在固定点位对矩阵函数应用Gram-Schmidt正交化流程，测试输入为已验证两两正交的非零向量集：

• sympy 1.7版本下所有测试用例运行正常，正交化结果符合预期
• sympy 1.10版本下直接抛出如下报错，中断运行：

ValueError: GramSchmidt: vector set not linearly independent

该报错不符合数学逻辑：两两正交的非零向量必然线性无关，即便使用sympy原生接口计算向量两两之间的点积，化简后结果均为0，可验证向量集的正交性与线性无关性。同时简单的标准正交基输入（如三维单位坐标向量组）可在1.10版本下正常运行，进一步说明报错属于异常行为。

复现代码 #

from sympy import *
x,y,a,b = symbols("x y a b", real=True)
Q = Matrix([[-2*x/a**2, -a**2*y/(b**2*x), a**2*b**4*x/(2*a**4*y**2+2*b**4*x**2)], [-2*y/b**2, 1, a**4*b**2*y/(2*a**4*y**2+2*b**4*x**2)], [1, 0, 1]])
print(Q)

print("Checking orthogonality:")
print(Q[:,0].dot(Q[:,1]))
print(simplify(Q[:,0].dot(Q[:,2])))
print(simplify(Q[:,1].dot(Q[:,2])))

print("Correct expected behavior for simple example:")
print(GramSchmidt([Matrix([1,0,0]), Matrix([0,1,0]), Matrix([0,0,1])]))

print("ValueError for my example:")
gs = GramSchmidt([Q[:,0], Q[:, 1], Q[:, 2]])

问题成因 #

该差异来自sympy 1.8版本后对GramSchmidt函数的逻辑修改：

• 1.7版本无前置线性相关性校验，直接执行正交化投影流程，投影过程中自动做的项化简足以识别零残差，因此不会误报
• 1.10版本新增了前置线性相关性检测步骤，该步骤默认不对符号表达式做充分化简，直接判断线性组合系数是否为零。测试用例中的向量包含分式、多项式组合，未化简状态下无法被识别出点积为零的正交关系，因此被误判为线性相关，抛出错误。

可行解决方案 #

由于必须使用1.10版本调用奇异值分解接口，可通过以下方式规避问题，无需降级版本：

• 调用GramSchmidt时显式传入simplify=True参数，即把报错行修改为：

  gs = GramSchmidt([Q[:,0], Q[:, 1], Q[:, 2]], simplify=True)
  

  该参数会让正交化全流程（含前置线性检测、每一步投影计算）自动对符号表达式做化简，既可以正确识别线性无关的向量集，计算效率也远高于传入未化简行向量的方案。
• 若上述方式仍偶发误判，可提前对传入的每个列向量做一次化简处理再传入函数：

  vec_list = [simplify(Q[:,0]), simplify(Q[:,1]), simplify(Q[:,2])]
  gs = GramSchmidt(vec_list, simplify=True)
  

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nap D. Lover