R中复现含二元选择变量的预算约束整数优化问题

问题说明 #

• 研究对象：共10个独立地块，地块大小等其余属性不参与计算
• 决策变量：各地块对应的二元变量Bᵢ，Bᵢ=1表示在该地块建设瞭望塔，Bᵢ=0表示不建设
• 约束条件：所有建设瞭望塔的地块对应建设成本总和≤30
• 优化目标：最小化全部地块的期望价值（EV）总和
• 验证参照：已通过Excel Solver规划求解得到最优建设决策结果，可用于校验R代码输出正确性

EV计算规则 #

通用EV计算公式：
EV = 火灾发生概率(p) × 火灾发生时损失 + (1-p) × 无火灾时损失 + 建设成本(K)

结合场景规则可对公式做简化：

• 无火灾时损失固定为0
• 地块未建塔且发生火灾时，产生高损失H
• 地块已建塔且发生火灾时，仅产生低损失L
• 简化后单地块EV计算逻辑：
  • 建塔时：EV(B=1) = p*L + K
  • 不建塔时：EV(B=0) = p*H
• 成本核算规则：仅地块建塔时计入对应建设成本K，不建塔时成本计为0

参数定义 #

• Plot i：序号为i的地块，i取值1到10
• H：未建塔地块发生火灾时产生的高损失值
• L：已建塔地块发生火灾时产生的低损失值
• p：单个地块的火灾发生概率
• K：单座瞭望塔的建设成本
• B：二元决策变量，取值为0或1，对应地块不建/建塔状态

R实现代码 #

该问题属于标准0-1整数线性规划问题，可直接通过lpSolve包求解，代码如下：

# 加载整数规划计算包
library(lpSolve)

# ========== 替换为实际参数值 ==========
plot_num <- 10                # 地块总数
p <- c()                      # 填入10个地块各自的火灾概率
H <- c()                      # 填入10个地块各自的高损失值
L <- c()                      # 填入10个地块各自的低损失值
K <- c()                      # 填入单座瞭望塔的建设成本（若每块地建塔成本一致可填rep(成本值,10)）
budget_limit <- 30            # 总预算上限
# ======================================

# 构造目标函数系数
# 总EV整理后可拆分为固定项+决策变量线性项，固定项不影响最优决策求解
fixed_ev <- sum(p * H)
obj_coef <- p*L + K - p*H

# 构造预算约束
constraint_matrix <- matrix(K, nrow = 1)
constraint_dir <- "<="
constraint_rhs <- budget_limit

# 求解0-1整数规划
opt_result <- lp(
  direction = "min",
  objective.in = obj_coef,
  const.mat = constraint_matrix,
  const.dir = constraint_dir,
  const.rhs = constraint_rhs,
  all.bin = TRUE
)

# 输出计算结果
total_opt_ev <- opt_result$objval + fixed_ev
build_decision <- opt_result$solution
total_cost <- sum(build_decision * K)

print(paste0("最优方案总期望价值：", round(total_opt_ev, 2)))
print(paste0("各地块建设决策（1=建塔，0=不建）：", paste(build_decision, collapse = ", ")))
print(paste0("总建设成本：", total_cost))

结果校验 #

代码输出的建设决策序列可直接和Excel Solver得到的结果比对，若参数填入一致，二者决策结果、总EV、总成本应当完全匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者StrugglingMastersStudent