如何在GNU MathProg中为变量添加整除约束

GNU MathProg（又称GMPL）中的mod是编译期求值运算符，仅支持作用于常量、提前完成赋值的已知参数，无法直接作用于待求解的决策变量，因此直接编写x1 mod 10 = 0形式的约束会触发operand preceding mod has invalid type报错。

不需要使用mod运算符，将整除要求转化为标准混合整数线性约束即可实现需求：
如果要求决策变量可被某一正整数d整除，本质上一定存在某个整数k，使得原决策变量的值恰好等于d与k的乘积。你只需要新增一个整数类型的辅助变量k，添加对应的线性等式约束就能实现整除限制。

代码示例 #

以要求x1可被10整除的场景为例：

1. 定义辅助整数变量，根据原变量x1的取值范围给k设置合理上下界（例如此处x1取值范围为0到1000，对应k的范围就是0到100）：

var x1 integer >= 0, <= 1000; /* 原决策变量，保持原有定义即可 */
var k integer >= 0, <= 100;   /* 新增的辅助整数变量 */

2. 替换原有错误的mod约束，编写线性等式约束：

s.t. c1: x1 = 10 * k;

通用规则 #

如果要求决策变量x可被任意正整数d整除：

• 新增整数类型辅助变量k
• 根据x的上下界推导k的上下界：k的下界 = ceil(x的下界 / d)，k的上界 = floor(x的上界 / d)
• 添加约束s.t. divisible_cons: x = d * k;

注意事项 #

• 必须给辅助变量k设置明确的上下界，否则求解器会在极大的整数范围内搜索，大幅拖慢求解速度，甚至引发数值稳定性问题。
• 该写法属于纯线性约束，完全兼容MathProg支持的所有混合整数线性规划求解器，求解效率远高于尝试用非线性运算符构造的特殊写法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kshitiz Sinha