Matplotlib对数x轴直方图与对数变换值直方图PDF不匹配问题

你混淆了「对数尺度坐标轴」和「变量对数变换后绘图」两个完全不同的操作，直接把原变量的PDF套用到变换后的变量空间，违反了概率密度的变换规则。 #

两个场景的本质区别 #

• 对数x轴场景（匹配正常）：你始终在原随机变量$X$（服从对数正态分布）的数值空间计算和绘图，仅仅是把x轴的显示刻度做了对数拉伸，没有改变任何数值逻辑。
  代码中计算的pdf就是$X$的PDF：
  $$f_X(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma2}\right)$$
  调用plt.hist(..., density=True)时，直方图高度的计算规则是「箱内样本数/(总样本数*X轴线性箱宽)」，和$X$的PDF定义完全对齐，自然能和红线匹配。
• 样本取对数后线性轴场景（不匹配）：你通过$Y=\ln X$把数据变换到了新随机变量$Y$的空间，此时直方图计算的是$Y$的概率密度，但你绘制的红线仍然是原变量$X$的PDF，二者根本不是同一个函数，不可能匹配。

概率密度变换规则 #

概率密度不是普通的函数值，不能直接做$y=\ln x$的变量替换就用。对于单调变换$y=g(x)$，新变量的PDF满足：
$$f_Y(y) = f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right|$$
这里$g(x)=\ln x$，因此$\frac{dx}{dy}=e^y=x$，代入后可得$Y=\ln X$服从参数为$\mu,\sigma$的正态分布，其PDF为：
$$f_Y(y) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma2}\right)$$
和你原来用的$X$的PDF相比，少了分母的$x$项，这就是不匹配的差值来源。 #

修正代码 #

把第二个绘图块替换为如下内容即可得到匹配的结果：

y = np.log(x)
# 计算Y=lnX的PDF（正态分布PDF）
pdf_y = np.exp(-(y - mu)**2 / (2 * sigma**2)) / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))
plt.hist(np.log(s), 100, density=True, align='mid')
plt.plot(y, pdf_y, linewidth=2, color='r')
plt.axis('tight')
plt.show()

易错点提醒 #

不要把两种操作混为一谈：

• 改坐标轴为对数尺度：仅调整视觉显示效果，所有密度、分箱的计算逻辑全部基于原变量
• 对变量做对数变换后绘线性轴：相当于切换到新的随机变量空间，密度的度量基准已经变化，必须按变量变换规则修正PDF

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BelisariusCawl