为何幺半群范畴中的自态射不都等同于恒等态射？

问题描述 #

阅读Bartosz Milewski所著的《Category Theory for Programmers》时，对幺半群（monoid）分别作为集合、作为范畴两种描述下的非恒等态射（non-identity morphism）刻画存在疑惑。

初始认知 #

• 集合视角下观察字符串这类幺半群时，我们会定义各类利用append特性的函数：例如为输入拼接"dog"的AppendDog函数、拼接"mmm"的AppendMmm函数，这类函数会将输入映射为字符串集合中的对应元素，自然也包含拼接空内容的恒等映射场景。
• 按照初始推演逻辑：当把幺半群上升为范畴视角时，抽象层级会发生变化——范畴中唯一的幺半群对象代表整个string类型，我们不再关注类型内部元素之间的映射关系，因为整个类型已经被抽象为单个点/对象。顺着这个逻辑推导，集合视角下所有string -> string的函数在范畴视角下应当没有区别，也就是说恒等函数（拼接空内容）应当和AppendDog、AppendMmm等其他自映射函数完全一致。

矛盾点 #

书中的示意图将幺半群对象到自身的不同态射绘制为相互独立的实体，和上述推演结论矛盾。核心疑问为：当我们把集合抽象为范畴中代表整个类型的单个对象后，为什么还要刻画幺半群集合内部的函数？所有从该类型出发回到该类型的函数，在这个抽象视角下难道不都应该和恒等函数没有区别吗？

解答 #

你的推演误区出在对「范畴抽象不关注对象内部结构」的理解偏差上：

• 把幺半群建模为单对象范畴时，我们确实把整个类型（比如字符串的全集）打包成了一个不暴露内部结构的对象，但态射本身就是和对象平级的范畴基础组成部分，从来不是对象内部的附属内容。
• 这个单对象范畴里的态射，对应的根本不是所有string -> string的普通函数，而是严格贴合幺半群结构的那部分特定自映射：放到字符串幺半群的场景下，态射就是「固定一个前缀做拼接」的操作——恒等态射对应拼接空串，AppendDog对应拼接"dog"，AppendMmm对应拼接"mmm"，这些态射从定义上就是完全独立的不同实体。而范畴的态射复合规则，正好对应字符串拼接的结合律：先执行AppendDog再执行AppendMmm，等价于直接执行拼接"dogmmm"的操作，完全匹配范畴对态射复合的要求。
• 你这里其实混淆了两个完全不同的范畴：
  • 其一是我们把单个幺半群本身建模得到的极小单对象范畴，这个范畴里只有一个对象，态射全是对应幺半群二元操作的自映射
  • 其二是Set（集合）范畴，这个范畴的对象是所有集合，string集合只是其中一个对象，所有合法的string -> string函数都是这个对象到自身的态射，这里面包含了大量和字符串幺半群结构无关的自映射（比如把任意字符串统一转为大写的函数，就不属于前面那个单对象幺半群范畴里的态射）

本质上，把幺半群建成单对象范畴时，我们根本没有“消去”不同态射的差异，反而是把原来集合里所有元素、操作的信息全部编码到了态射和态射的复合规则里——那个唯一的对象只是个用来挂住态射起点和终点的无意义锚点，本身不携带任何信息。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sdb