Python查找过质心的3D点云或三维凸包长轴的方法咨询

需要查找由三维布尔数组/标签数组描述的3D连通对象的长轴，要求轴线穿过（或紧邻）对象质心。
前期尝试的方案存在以下问题：

• 遍历对象内所有点对，取间距最大的点对连线作为长轴：对非凸/带突出结构的对象，该连线会远离对象中心，不符合要求
• 筛选与质心距离小于阈值的最长点对连线：需要手动调阈值，属于重复造轮子，且没有用到成熟的几何计算方法
• 检索到的最小二乘直线拟合方案大多仅适用于二维场景，无法直接用到3D数组上

实际处理的对象规模为数千个体素，具备两个特点：

• 对象内两点的最大间距连线可能远离质心
• 对象为单连通结构

以下代码可生成简单的测试3D形状：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 构造简单3D测试形状
t = [[[0,0,0,0,0],
      [0,0,1,0,0],
      [0,0,0,0,0],
      [0,0,0,0,0],
      [0,0,0,0,0]],

     [[0,0,0,0,0],
      [0,0,1,0,0],
      [0,1,1,1,0],
      [0,0,0,0,0],
      [0,0,0,0,0]],

     [[0,0,0,0,0],
      [0,0,1,0,0],
      [0,1,1,1,0],
      [0,0,0,0,0],
      [0,0,0,0,0]],

     [[0,0,0,0,0],
      [0,0,1,0,0],
      [0,1,1,1,0],
      [0,0,0,0,0],
      [0,0,0,0,0]],

     [[0,0,0,0,0],
      [0,0,1,0,0],
      [0,0,0,0,0],
      [0,0,0,0,0],
      [0,0,0,0,0]]]

t = np.array(t)

# 计算对象质心
coords = np.where(t == 1)
x = np.mean(coords[0])
y = np.mean(coords[1])
z = np.mean(coords[2])

# 多视角展示对象
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3)
ax1.imshow(np.max(t, axis=0))
ax1.plot(x,y, 'ro')
ax1.set_title('xy')
ax2.imshow(np.max(t, axis=1))
ax2.plot(x,z, 'ro')
ax2.set_title('xz')
ax3.imshow(np.max(t, axis=2))
ax3.plot(y,z, 'ro')
ax3.set_title('yz')
plt.show()

直接使用**3D主成分分析（PCA）**计算即可，这是该场景下的标准成熟方案，不需要手动遍历点对，也不需要调参。

核心原理 #

PCA计算得到的第一主成分方向，就是3D点云方差最大的延展方向，对应的拟合直线天然穿过点云质心，且是所有过质心直线中，点到直线垂直距离平方和最小的解，正好对应你要找的长轴，完全适配三维场景。

计算步骤非常简单：

• 提取对象所有体素的三维坐标，计算质心（现有代码已经完成这步）
• 将所有点坐标减去质心坐标做中心化处理
• 计算中心化后坐标的3×3协方差矩阵
• 对协方差矩阵做特征值分解，最大特征值对应的特征向量就是长轴的方向向量
• 过质心、沿该方向向量延伸的直线，就是目标长轴

实现代码 #

在你现有代码基础上，添加以下片段即可得到长轴方向：

# 整理为N行3列的点坐标数组
points = np.vstack(coords).T.astype(np.float64)
centroid = np.array([x, y, z])
# 计算协方差矩阵
cov_mat = np.cov((points - centroid).T)
# 特征值分解
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)
# 取最大特征值对应的特征向量，即长轴方向
long_axis_direction = eig_vecs[:, np.argmax(eig_vals)]

如果需要可视化长轴，只需要从质心出发，沿long_axis_direction向两侧取合适长度的端点连线即可。

方案优势 #

• 时间复杂度为O(N)，N为对象体素数，哪怕处理上万点的结构速度也极快，远优于遍历点对的O(N²)方案
• 不需要手动设置距离阈值，无额外调参成本
• 对给出的十字形测试样例，计算得到的长轴会沿竖直长杆方向，准确穿过质心，不会出现最远点对斜连对角、偏离中心的问题
• 额外可直接得到对象的另外两个正交主轴：第二、第三大特征值对应的特征向量分别对应中轴、短轴方向，可直接用于后续的形状朝向、尺寸测量等任务

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zac