求解矩阵方程M*X*M^-1*A=B中未知3x3可逆矩阵M的方法

核心思路是利用相似变换的线性性质，通过选取特殊的输入X、A构造测量，分两步得到M，完全不需要展开9维大型方程组。最终M可确定到相差一个全局非零缩放因子（相似变换本身对M的全局缩放不敏感，符合图形学齐次坐标的变换特性）。 #

第一步：获取M三个列向量的方向 #

固定一个非零输入向量A（比如直接取A = [1,1,1]^T即可，若后续测量出现零结果则更换为其他非对称非零向量），分别选取三个特殊的X矩阵做三次测量：

• 取X₁ = diag(1,0,0)（仅第一行第一列为1，其余位置为0的矩阵），测量得到结果b₁
• 取X₂ = diag(0,1,0)，测量得到结果b₂
• 取X₃ = diag(0,0,1)，测量得到结果b₃
  原方程两边左乘M⁻¹可变形为 X M⁻¹A = M⁻¹B。上述三个X的列空间分别对应三个标准基向量张成的一维空间，Xᵢ乘任意向量的结果都是第i个标准基向量eᵢ的倍数，因此测量得到的bᵢ必然是M的第i个列向量mᵢ的非零标量倍，即bᵢ = kᵢ mᵢ，其中kᵢ为未知非零标量。
  这一步直接得到M三个列的方向，M可以表示为 M = [b₁/k₁, b₂/k₂, b₃/k₃] = Bₘ D，其中Bₘ是以b₁,b₂,b₃为列构造的3x3矩阵，D = diag(1/k₁, 1/k₂, 1/k₃)是待求缩放因子的对角矩阵。

第二步：求解列向量的缩放比值 #

仍然使用和第一步相同的固定A，再选取两个特殊X做两次测量：

• 取X₁₂ = [[0,1,0],[0,0,0],[0,0,0]]（仅第一行第二列为1，其余为0），测量得到b₁₂
• 取X₁₃ = [[0,0,1],[0,0,0],[0,0,0]]（仅第一行第三列为1，其余为0），测量得到b₁₃
  代入变形后的方程计算：
• 求逆得到Bₘ⁻¹，计算c₁₂ = Bₘ⁻¹ b₁₂，c₁₂的第一个分量值就是k₂/k₁，其余分量理论上为0，可作为测量噪声的校验项
• 计算c₁₃ = Bₘ⁻¹ b₁₃，c₁₃的第一个分量值就是k₃/k₁，其余分量理论上为0
  由于M允许全局缩放，直接固定k₁=1，即可算出k₂、k₃的取值，代入第一步的M表达式就得到了最终的矩阵M。

校验与补充 #

• 校验：选任意随机X和随机A，代入方程计算M X M⁻¹ A，和实际测量得到的B对比，若误差在测量噪声允许范围内则结果正确。
• 绝对缩放：如果需要确定M的绝对缩放，额外选一组已知几何长度的向量做校准测量，求解全局缩放因子即可。图形学中多数2D齐次变换、投影变换场景下全局缩放不影响最终变换结果，可直接使用。
• 行向量适配：如果原系统采用行向量右乘矩阵的运算规则，只需要将所有矩阵转置后套用上述推导即可，逻辑完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者David Spruill