如何使用Python实现数据的多项分布最大似然估计

多项分布的极大似然估计是解析解，不需要做迭代优化，核心逻辑非常简单：每个类别的概率估计值 = 该类别的观测频数 / 全部样本的总频数，所有类别估计出的概率之和严格为1，完全符合概率定义。

针对给出的「类别-频数」汇总格式数据，直接按这个逻辑计算即可，下面给出两种Python实现方式。

category number
100 1658
101 1801
102 1856
103 1804
104 1779
105 1765
106 1912
107 1976
108 2233
109 2512
110 3133

适合数据量不大、不想额外装库的场景：

# 录入类别-频数字典
freq_map = {
    100: 1658,
    101: 1801,
    102: 1856,
    103: 1804,
    104: 1779,
    105: 1765,
    106: 1912,
    107: 1976,
    108: 2233,
    109: 2512,
    110: 3133
}

# 计算总样本量
total_count = sum(freq_map.values())
# 计算每个类别的MLE概率
p_estimate = {cat: cnt / total_count for cat, cnt in freq_map.items()}

# 输出结果
for cat, p in p_estimate.items():
    print(f"类别{cat} 概率估计值: {round(p, 4)}")

# 校验：概率和应为1
print(f"\n概率和校验值: {sum(p_estimate.values())}")

如果你的数据是存在csv、txt等结构化文件里，用pandas处理效率更高：

import pandas as pd
from io import StringIO

# 下面的字符串是模拟本地文件内容，实际使用时替换成pd.read_csv("你的文件路径", sep=r"\s+")即可
raw_data = """category number
100 1658
101 1801
102 1856
103 1804
104 1779
105 1765
106 1912
107 1976
108 2233
109 2512
110 3133
"""
df = pd.read_csv(StringIO(raw_data), sep=r"\s+")

# 计算总样本量，生成概率列
total = df["number"].sum()
df["p_mle"] = df["number"] / total

print(df)

• 上述计算得到的估计值是多项分布极大似然估计的解析结果，是无偏估计，不需要额外调用统计库做拟合。
• 如果你手里的原始数据是每条样本对应一行、未做频数汇总的格式，只需要先对类别列做value_counts()得到频数表，后续计算逻辑完全一致。
• 如果你需要加入先验信息做平滑（比如拉普拉斯平滑），那属于贝叶斯估计范畴，不是纯极大似然估计的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bioTao