特定结构4×4非厄米矩阵特征值与向量高效Julia计算

我目前正在寻找可计算特定结构4×4非厄米矩阵特征向量的高效算法，优先支持Julia语言实现，目标矩阵的结构如下：

a  b   0  c
0  0  -1  0
d  e   0  f
g  h   0  i

我清楚原则上直接调用Julia或Python的内置函数即可完成计算，但实际测试显示，即便Julia本身具备高性能特性，其计算速度仍比开启fastmath选项的C++ Eigen库慢2倍。因此我希望了解Eigen库针对此类场景采用的具体算法，以及该算法是否可以迁移实现到Julia或Python环境中。
感谢各位提供的提示与建议。

问题更新 #

感谢各位评论指出我此前描述不够准确，以下为可在Julia中直接运行的测试示例代码：

using BenchmarkTools
using LinearAlgebra
using StaticArrays

function foo(A)
    eigen(A)
    return
end 

function foo2(A)
    @fastmath eigen(A)
    return
end

function foo3(A)
    LinearAlgebra.LAPACK.geevx!('B', 'N', 'V', 'N', copy(A))
    return
end

A = rand(4,4) + im*rand(4,4);
A[:,3] .= 0;
A[2,:] .= 0;
A[2,3] = 1;

AStatic = SMatrix{4,4, ComplexF64}(A)


@benchmark eigen($A)
@benchmark eigen($AStatic)

@benchmark foo($AStatic)
@benchmark foo2($AStatic)
@benchmark foo3($A)

针对其他用户的疑问和建议，补充说明如下：

• 计算需求：我实际需要同时计算特征值与特征向量。当前使用的Julia版本底层调用OpenBLAS，即便加载MKL.jl切换为MKL后端，性能提升也十分有限。
• 已尝试的优化手段：测试显示fastmath选项未带来任何性能变化，推测原因是调用的相关线性代数函数已完成预编译，该选项无法生效；StaticArrays虽在部分场景下有优化效果，但针对非厄米矩阵其仍会调用Julia内置计算函数；QR分解、LU分解无法直接得到特征值，且eigenvals()方法也不适用于非厄米矩阵计算场景。
• 对解析解方案的顾虑：针对有用户提到的手动推导求解（如Ferraris方法），我担心这类方法手动展开的计算量较大，最终实现后的计算速度不会有明显提升。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Itzui