Python求解N维空间给定两顶点的等边三角形第三顶点

给定等边三角形的两个顶点 $A,B \in R^N$，其中空间维度 $N > 1$。

求解第三个顶点 $Z \in R^N$，满足三边等长约束：||A-B|| = ||A-Z|| = ||B-Z||。
现有仅支持二维点场景（即$A,B \in R^2$、$Z \in R^2$）计算的Python脚本，代码如下：

import numpy as np

def equilateral(A, B):
    # Computes `x coordinate` of the third vertex.
    vx = ( A[0] + B[0] + np.sqrt(3) * ( A[1] - B[1] ) ) / 2 
    
    # Computes 'y coordinate' of the third vertex. 
    vy = ( A[1] + B[1] + np.sqrt(3) * ( A[0] - B[0] ) ) / 2

    z = np.array([vx, vy]) #This point z is the third vertex. 

    return z

# Test for 2D vectors:
A = np.array([2,0])
B = np.array([5,0])

Z = equilateral(A,B)
print(z) # [ 3.5, -2.59807621]

需要扩展上述代码（或设计更优的实现方案），支持N维向量场景下的第三个顶点求解，适配如下测试用例：

N = 5
A = np.random.normal(size=(N, ))
B = np.random.normal(size=(N, ))
z = equilateral(A, B)

N维空间下过A、B两点的等边三角形第三个顶点存在2个合法解，核心逻辑非常清晰：

• 等边三角形AB边的高长度为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot ||A-B||$，高的落点恰好是AB的中点
• 只需要在AB的垂直超平面上，找到一个长度等于高的向量，叠加到中点坐标上即可得到第三个顶点
• 垂直向量可以通过Gram-Schmidt正交化快速构造，不需要复杂的矩阵运算

import numpy as np

def equilateral(A, B, return_second_solution: bool = False):
    A = np.asarray(A, dtype=np.float64)
    B = np.asarray(B, dtype=np.float64)
    ab = B - A
    len_ab = np.linalg.norm(ab)
    # 计算AB中点坐标
    mid_point = (A + B) / 2
    
    # 构造与ab不共线的辅助向量：选取ab分量绝对值最小的维度置1，从根源避免共线问题
    min_dim = np.argmin(np.abs(ab))
    aux_vec = np.zeros_like(A)
    aux_vec[min_dim] = 1.0
    
    # Gram-Schmidt正交化，得到严格垂直于ab的向量
    perpendicular_vec = aux_vec - (np.dot(aux_vec, ab) / np.dot(ab, ab)) * ab
    # 将垂直向量归一化后，缩放到等边三角形高的长度
    perpendicular_vec = perpendicular_vec / np.linalg.norm(perpendicular_vec) * len_ab * np.sqrt(3) / 2
    
    # AB两侧各有一个合法解，通过参数控制返回哪一个
    return mid_point + perpendicular_vec if not return_second_solution else mid_point - perpendicular_vec

不管是二维还是高维场景，都可以通过校验三边长度确认结果符合约束：

# 二维场景对齐原脚本测试
A_2d = np.array([2, 0])
B_2d = np.array([5, 0])
Z_2d = equilateral(A_2d, B_2d, return_second_solution=True)
print("二维测试结果：", Z_2d.round(8))
print("二维三边长：",
      round(np.linalg.norm(A_2d - B_2d), 8),
      round(np.linalg.norm(A_2d - Z_2d), 8),
      round(np.linalg.norm(B_2d - Z_2d), 8))

# 五维场景适配测试
N = 5
A_nd = np.random.normal(size=(N, ))
B_nd = np.random.normal(size=(N, ))
Z_nd = equilateral(A_nd, B_nd)
print("\n五维测试三边长：",
      round(np.linalg.norm(A_nd - B_nd), 8),
      round(np.linalg.norm(A_nd - Z_nd), 8),
      round(np.linalg.norm(B_nd - Z_nd), 8))

运行代码可以看到，两种场景下三边长度完全相等，符合等边三角形的约束。如果需要获取AB另一侧的第三个顶点，传入return_second_solution=True即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者farid