手动计算的对数似然值与logLik函数计算值的差异问题

你遇到的问题很典型——Gamma分布的参数化方式很容易搞混，这正是两个结果差异的核心原因！

先复盘你的操作：
你用rgamma(50, shape=2, scale=10)生成符合Gamma分布的样本，通过fitdist(x, "gamma")拟合模型后，调用logLik()得到对数似然值为-189.4192；但自己编写的gmll函数传入真实参数（scale=10, shape=2）后，得到的结果却是-246.6081，两者数值差距明显。

问题根源：手动对数似然公式错误 #

首先明确R中Gamma分布的参数化规则：rgamma()使用的是shape（α）和scale（θ）的参数形式，对应的概率密度函数（PDF）为：

f(x) = (x^(α-1) * exp(-x/θ)) / (θ^α * Γ(α))

对所有样本的PDF取对数后求和，得到对数似然函数（注意是对数似然，而非负对数似然）的正确形式：
[
\ell(\alpha, \theta) = (\alpha-1)\sum\log(x_i) - \frac{1}{\theta}\sum x_i - n\alpha\log\theta - n\log\Gamma(\alpha)
]

对比你的gmll函数：

gmll <- function(scale,shape,datta){
  a <- scale  # 错误：将scale赋值给a，而公式中lgamma的参数应为shape
  b <- shape  # 错误：参数对应关系混乱
  n <- length(datta)
  sumd <- sum(datta)
  sumlogd <- sum(log(datta))
  gmll <- n*a*log(b) + n*lgamma(a) + sumd/b - (a-1)*sumlogd
  gmll
}

这里存在三个关键错误：

• 参数对应完全颠倒：lgamma()的参数应该是shape（α），你却传入了scale（θ）；
• 符号全部写反：正确公式里的nαlogθ、nlogΓ(α)是减项，你写成了加项；sum(x_i)/θ是减项，你写成了加项；(α-1)Σlog(x_i)是加项，你写成了减项；
• 参数代入错误：sumd/b中用shape（α）做分母，正确的应该是用scale（θ）做分母。

修正后的手动计算函数 #

把公式修正后，手动计算的结果就会和logLik()的输出一致：

gmll_correct <- function(shape, scale, datta){
  alpha <- shape
  theta <- scale
  n <- length(datta)
  sum_x <- sum(datta)
  sum_logx <- sum(log(datta))
  # 正确的对数似然计算公式
  ll <- (alpha - 1)*sum_logx - sum_x/theta - n*alpha*log(theta) - n*lgamma(alpha)
  ll
}

测试验证（设置随机种子保证结果可复现）：

set.seed(123)
x <- rgamma(50, shape = 2, scale = 10)
Gamma_fitdist <- fitdist(x, "gamma")

# 拟合参数的对数似然
logLik(Gamma_fitdist)
# 真实参数的对数似然
gmll_correct(shape=2, scale=10, datta=x)

两者结果会非常接近（因为拟合参数是真实参数的最大似然估计，样本随机生成会有微小误差）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者felipe gateño