为何1e100无法被64位浮点数精确表示？

核心误区在于，你混淆了二进制浮点数的精度规则和十进制数的表示逻辑。64位浮点数（即IEEE 754标准双精度浮点数）是二进制体系下的数值表示方案，常说的“支持16位有效数字”只是二进制精度换算到十进制下的近似参考值，绝非“只要十进制下有效数字少于16位就能精确存储”。

• 先明确双精度浮点数的表示规则：它的存储结构分为1位符号位、11位指数位、52位尾数位，隐含尾数最高位的常数1，实际可表示的有效二进制位共53位。换算成十进制精度约为log10(2^53) ≈ 15.95位，这就是“16位有效数字”说法的来源。所有能被双精度浮点数精确表示的数，都必须写成 ± 2^e * m 的形式，其中e是合法范围的整数指数，m是可以用53位二进制表示的小数。
• 再拆解1e100的构成：1e100 = 10^100 = (2*5)^100 = 2^100 * 5^100。这里的2^{100完全可以被指数位容纳（双精度指数最大可支持到2}1023左右，远大于2^{100），但问题出在5}100这个因子上：5和2互质，5^100的二进制表示长度约为100 * log2(5) ≈ 232位，远超过尾数位提供的53位有效二进制位长度，根本无法被有限长度的尾数精确容纳，自然没法精确表示整个数值。
• 最后纠正对“有效数字”的误解：所谓16位十进制有效数字，指的是双精度浮点数转十进制输出时，前15~16位的十进制数字和原输入值是一致的，不代表存储的数值和输入的十进制数完全相等。这和十进制小数永远没法精确表示1/3是同一个逻辑：1/3只有1位有效数字，但写成十进制是0.333...的无限循环小数，用有限位十进制存储只能存近似值；同理，很多十进制下位数很少的数，写成二进制是无限循环小数，用有限位二进制存储也只能存近似值。

举个最常见的小例子：十进制的0.1只有1位有效数字，但同样无法被双精度浮点数精确表示，本质和1e100无法精确存储的原因完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James Rider