基于SOS优化的漏斗计算：rho验证失效与RoA内仿真异常咨询

问题背景 #

• 搭建了基于SOS优化的时变吸引域（RoA）rho值求解框架，采用双优化问题双线性交替迭代架构，目前已应用于带力矩限制的单摆动力学场景
• 场景配置：标称轨迹通过直接配置法（Direct Collocation）求解得到，控制策略采用时变LQR控制器
• 配套实现支持本地运行，内置验证脚本，运行后可通过生成的results.pdf查看计算结果
• 异常现象：从估计得到的RoA范围内选取初始点开展闭环仿真，部分轨迹无法抵达目标区域，和内估计算法"估计集合必为真实RoA子集"的理论特性矛盾

可能原因排查 #

优化求解层面的问题 #

• 双线性交替迭代的局部最优问题：双线性交替求解属于非凸优化框架，没有全局收敛保证，若迭代终止条件设置过松（比如rho更新阈值、约束残差阈值过大），很可能停在不满足严格约束的局部点，得到偏大的rho值，直接导致估计的RoA超出真实内估计边界
• SDP求解的数值误差问题：SOS约束最终会转化为半定规划（SDP）问题求解，通用SDP求解器都存在数值精度限制，若求解后没有校验SOS分解对应的半正定矩阵最小特征值，很容易出现矩阵实际存在负特征值（不定矩阵）、但求解器返回"可行"的情况，直接破坏了Lyapunov函数正定性、沿轨迹递减的核心前提
• 时变维度的离散化误差：时变RoA估计需要对时间维度做离散采样或基函数展开，若时间节点间隔过大、用于拟合时变Lyapunov函数/乘子的基函数阶数不足，会导致相邻离散时间点之间的单调性约束没有被覆盖，轨迹运行到两个离散节点的中间时刻时，就可能违反Lyapunov递减条件跳出估计边界

建模一致性层面的问题 #

• 饱和非线性的建模偏差：如果SOS建模时对力矩限制采用了扇区边界之类的松弛近似，而仿真环节用的是硬限幅的饱和模型，两者的非线性输入边界不匹配，会导致建模时假设的控制输入范围和实际仿真的输入范围存在偏差，估计的RoA自然无法覆盖实际闭环动态
• 标称轨迹与控制器的失配：直接配置法生成的标称轨迹本身存在数值残差，若仿真环节用的参考轨迹、时变LQR增益序列和SOS建模时使用的序列不一致（比如插值方法不同、采样点不对齐、角度变量未做周期归一化），会导致实际闭环动力学和建模时使用的动力学方程存在偏差，Lyapunov函数的递减条件不再成立
• 未建模动态遗漏：如果SOS建模时忽略了实际仿真中存在的环节（比如控制输入延迟、测量噪声、摩擦项），也会导致模型和实际系统不匹配，估计的RoA失效

仿真验证层面的问题 #

• 初始点选取错误：时变RoA是定义在标称轨迹的误差状态空间上的时变集合，如果选初始点时没有减去初始时刻对应的标称状态，或者角度变量没有做2π周期对齐，会导致实际选中的点根本不在估计的RoA范围内，自然无法收敛
• 数值积分误差：如果仿真用的积分器步长过大、阶数过低，会产生较大的截断误差，数值仿真的轨迹和真实连续系统轨迹偏差过大，出现"轨迹逃逸"的数值假象，并非真实的系统动态
• 收敛判定阈值偏差：如果仿真时判定"抵达目标区域"的阈值比SOS建模时设定的终端域阈值更严格，会出现轨迹实际已经进入理论收敛域，但被误判为"未抵达"的情况

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Federico Girlanda