如何使用numpy、sympy、matplotlib求解函数的极大值与极小值

你仅需使用numpy、sympy、matplotlib三个库即可完成多项式函数的极值求解，针对目标函数 $y=9x^3-7x2+3x+10$，基于你已写的代码补全逻辑即可，具体如下：

现有代码问题 #

• 缺少numpy库的导入语句，运行会报np未定义的错误
• 仅生成了整数间隔的离散点，没有完成驻点求解、极值类型判定、结果可视化的核心逻辑
• 原代码把符号函数f直接覆盖为lambdify转换后的数值函数，后续如果需要做符号计算会报错

核心实现逻辑 #

• 用sympy完成符号求导：一阶导数为0的点是极值候选驻点，二阶导数符号用于判定极值类型
  • 驻点处二阶导>0：该点为极小值点
  • 驻点处二阶导<0：该点为极大值点
  • 驻点处二阶导=0：该点为拐点，不是极值点
• 过滤掉复数域的驻点，仅保留实数域的有效极值点
• 用numpy生成平滑的连续采样点，matplotlib绘制函数曲线与极值点标注
• 代码逻辑通用，替换目标函数即可直接用于其他多项式的极值求解，适配你后续的多函数计算需求

完整可运行代码 #

from sympy import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义符号变量与目标函数（符号函数和数值函数分开命名，避免覆盖冲突）
x = symbols('x')
f_sym = 9*x**3 - 7*x**2 + 3*x + 10

# 计算一阶导、二阶导
df_1 = diff(f_sym, x)
df_2 = diff(f_sym, x, 2)

# 求解一阶导为0的所有驻点，过滤复数点保留实数驻点
critical_points = solve(df_1, x)
real_critical = [float(p.evalf()) for p in critical_points if p.is_real]

# 遍历驻点判定极值类型
extrema_result = []
for x_val in real_critical:
    second_deriv_val = float(df_2.subs(x, x_val).evalf())
    y_val = float(f_sym.subs(x, x_val).evalf())
    if second_deriv_val > 1e-6:  # 加极小阈值规避浮点计算误差
        extrema_result.append( ("极小值", x_val, y_val) )
    elif second_deriv_val < -1e-6:
        extrema_result.append( ("极大值", x_val, y_val) )

# 转换为numpy可调用的数值函数用于绘图
f_num = lambdify(x, f_sym, 'numpy')
# 生成绘图用的密集采样点
x_plot = np.linspace(-2, 2, 500)
y_plot = f_num(x_plot)

# 绘制图像
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_plot, y_plot, color='#1f77b4', linewidth=2, label=r'$y=9x^3-7x^2+3x+10$')
# 标注极值点
for e_type, x_p, y_p in extrema_result:
    plt.scatter(x_p, y_p, color='red', s=120, zorder=10)
    plt.text(x_p+0.05, y_p, f'{e_type}\n({x_p:.3f}, {y_p:.3f})', fontsize=11)
# 辅助样式设置
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.xlabel('x', fontsize=12)
plt.ylabel('y', fontsize=12)
plt.legend(fontsize=12)
plt.title('函数极值求解可视化', fontsize=14)
plt.show()

# 打印计算结果
print("="*30)
if not extrema_result:
    print("该函数在实数域不存在极大值、极小值，函数在R上单调")
else:
    print("函数极值计算结果：")
    for e_type, x_p, y_p in extrema_result:
        print(f"{e_type}：x = {x_p:.4f}, 对应y = {y_p:.4f}")

运行结果说明 #

目标函数的一阶导数为 $f'(x)=27x^2-14x+3$，其判别式 $\Delta = 14^2 - 4\times27\times3 = -128 < 0$，一阶导在全体实数域恒为正，因此该函数没有实数域的极大值和极小值，整体单调递增。运行代码后会输出无有效极值的提示，绘制的函数曲线为全程上升的三次函数曲线。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tasrif Rahman