如何调整线性模型对比编码实现所有因子水平与总均值比较

现有默认编码方案的问题 #

当前调整线性模型对比编码的核心目标，是实现分类因子所有水平与总均值的显著性差异检验，两类常用默认编码均无法满足需求：

• 对照-处理对比（control-treatment contrasts）：默认将因子第一个水平设为参考组，模型摘要仅输出其余水平和参考水平的比较结果，参考水平本身的检验结果不会展示，无法覆盖所有因子水平。
• 偏差编码（Deviation coding，即R内置contr.sum对应的编码规则）：为满足模型可识别性要求，会自动省略最后一个因子水平的对比项，该水平的检验结果不会出现在输出中；同时输出的系数会以x1/x2这类序号命名，无法直接对应原始因子的水平名称，使用体验很差。

默认偏差编码运行示例 #

测试代码如下：

set.seed(1)
y <- rnorm(6, 0, 1)
x <- factor(rep(LETTERS[1:3], each = 2))
fit <- lm(y ~ x, contrasts = list(x = contr.sum))
summary(fit)

运行结果：

Call:
lm(formula = y ~ x, contrasts = list(x = contr.sum))

Residuals:
     1      2      3      4      5      6 
-0.405  0.405 -1.215  1.215  0.575 -0.575 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.02902    0.46809  -0.062    0.954
x1          -0.19239    0.66198  -0.291    0.790
x2           0.40885    0.66198   0.618    0.581

Residual standard error: 1.147 on 3 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1129,    Adjusted R-squared:  -0.4785 
F-statistic: 0.1909 on 2 and 3 DF,  p-value: 0.8355

可以看到结果里仅展示了两个因子系数，对应A、B水平与总均值的差异，C水平的结果被默认省略，且系数名没有直接关联水平名。

实现方案 #

不需要额外构造取值等于总均值的虚拟变量，仅需手动调整对比矩阵即可实现需求：

1. 先用contr.sum生成基础偏差编码矩阵，给矩阵列手动命名为对应因子的前k-1个水平名
2. 给矩阵补全最后一个水平的对比行，按照偏差编码规则填充为全-1，再传入模型的contrasts参数
3. 模型拟合完成后，可通过系数间的线性关系推导被省略的最后一个水平的效应值、标准误与p值，本质是对模型参数做重新参数化，不会改变模型整体拟合结果与自由度，也不会引入共线性问题。

此前已有同类问题给出过可直接运行的实现代码，相关统计原理可参考专业统计问答社区的讨论内容。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Adam_G